binomio de newton todo todito
Páginas: 4 (899 palabras)
Publicado: 9 de junio de 2014
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Universidad de Cadiz
Departamento de Matem´ticas
a
´
MATEMATICAS
para estudiantes de primer curso
de facultades y escuelas t´cnicas
e
Tema 11
N´meros factoriales. N´meroscombinatorios. Binomio de Newton
u
u
Elaborado por la Profesora Doctora Mar´ Teresa Gonz´lez Montesinos
ıa
a
´
Indice
1. N´ meros factoriales
u
1
2. N´ meros combinatorios
u
1
3.Binomio de newton
2
4. Ejercicios propuestos
3
1
Tema 11
1. N´meros factoriales
u
Se llama factorial de un n´mero n ∈ N al producto de los n factores consecutivos que comienzan
upor la unidad y terminan por n, esto es,
n! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 2) · (n − 1) · n.
Ejemplo 1.1
1! = 1,
4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24,
7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040.
Por convenio se haestablecido que, aunque 0 ∈ N y por definici´n 0! no tenga sentido, 0! = 1.
/
o
Si n ∈ N, entonces siempre podremos hacer n! = (n − 1)! n, ya que
n! =1 · 2 · 3 · · · (n − 2) · (n − 1)·n.
(n − 1)!Ejemplo 1.2 6! = 5! 6, 9! = 7! 8 · 9.
2. N´meros combinatorios
u
Dados m, n ∈ N, se define el n´ mero combinatorio o coeficiente bin´mico al n´mero
u
o
u
m
n
=
m!
,
n!(m − n)!
y seleer´ m sobre n.
a
Con esta notaci´n, se definen los siguientes n´meros combinatorios:
o
u
m
0
=
m!
m!
0
0!
1
=
= 1,
=
= = 1,
0!(m − 0)!
0! m!
0
0! 0!
1
m
m!
(m − 1)! m
=
== m.
1
1!(m − 1)!
1!(m − 1)!
Las propiedades fundamentales de los n´meros combinatorios se recogen en la siguiente
u
Proposici´n 2.1 Dados m, n ∈ N, se satisfacen:
o
1)
m
n
2)
mm
+
n
n+1
=
Ejemplo 2.1
m
.
m−n
10
3
=
=
m+1
.
n+1
10
,
7
100
98
=
100
,
2
x
x−3
x
x
+
4
5
x
.
3
=
Ejemplo 2.2
8
8
+
4
5
=
9,
5
12
12
+
x
x+1
=
13
,
x+1
=
x+1
,
5
15
15
+
x−1
x
=
16
.
x
2
Matem´ticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas t´cnicas
a
e...
Universidad de Cadiz
Departamento de Matem´ticas
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MATEMATICAS
para estudiantes de primer curso
de facultades y escuelas t´cnicas
e
Tema 11
N´meros factoriales. N´meroscombinatorios. Binomio de Newton
u
u
Elaborado por la Profesora Doctora Mar´ Teresa Gonz´lez Montesinos
ıa
a
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Indice
1. N´ meros factoriales
u
1
2. N´ meros combinatorios
u
1
3.Binomio de newton
2
4. Ejercicios propuestos
3
1
Tema 11
1. N´meros factoriales
u
Se llama factorial de un n´mero n ∈ N al producto de los n factores consecutivos que comienzan
upor la unidad y terminan por n, esto es,
n! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 2) · (n − 1) · n.
Ejemplo 1.1
1! = 1,
4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24,
7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040.
Por convenio se haestablecido que, aunque 0 ∈ N y por definici´n 0! no tenga sentido, 0! = 1.
/
o
Si n ∈ N, entonces siempre podremos hacer n! = (n − 1)! n, ya que
n! =1 · 2 · 3 · · · (n − 2) · (n − 1)·n.
(n − 1)!Ejemplo 1.2 6! = 5! 6, 9! = 7! 8 · 9.
2. N´meros combinatorios
u
Dados m, n ∈ N, se define el n´ mero combinatorio o coeficiente bin´mico al n´mero
u
o
u
m
n
=
m!
,
n!(m − n)!
y seleer´ m sobre n.
a
Con esta notaci´n, se definen los siguientes n´meros combinatorios:
o
u
m
0
=
m!
m!
0
0!
1
=
= 1,
=
= = 1,
0!(m − 0)!
0! m!
0
0! 0!
1
m
m!
(m − 1)! m
=
== m.
1
1!(m − 1)!
1!(m − 1)!
Las propiedades fundamentales de los n´meros combinatorios se recogen en la siguiente
u
Proposici´n 2.1 Dados m, n ∈ N, se satisfacen:
o
1)
m
n
2)
mm
+
n
n+1
=
Ejemplo 2.1
m
.
m−n
10
3
=
=
m+1
.
n+1
10
,
7
100
98
=
100
,
2
x
x−3
x
x
+
4
5
x
.
3
=
Ejemplo 2.2
8
8
+
4
5
=
9,
5
12
12
+
x
x+1
=
13
,
x+1
=
x+1
,
5
15
15
+
x−1
x
=
16
.
x
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Matem´ticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas t´cnicas
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