binomio de newton
Páginas: 5 (1247 palabras)
Publicado: 12 de junio de 2013
Binomio de Newton, triángulo de pascal, combinación, permutación y la variación.
El binomio de Newton es una fórmula que permite desarrollar de una manera más rápida la potencia de un entero positivo de un binomio. Este método expresa que se puede expandir la potencia (x + y)n en una suma en donde los términos se expresarían de la siguiente manera: axbyc, en el cual tanto elexponente b y c son siempre números naturales y la suma de ellos es igual a n de la primera fórmula mencionada anteriormente, y el coeficiente a sin importar el termino, siempre va a ser un numero entero positivo que dependerá de n y b.
La aplicación de la fórmula del binomio de Newton es principalmente utilizada para calcular las potencias de un binomio al utilizar números combinatorios. Teniendo encuenta que la formula (a + b)n expresa la potencia como la suma de varios números, y para lograr saber el valor de cualquiera de sus coeficientes es necesario utilizar el triángulo de Tartaglia.
Para la realización de la formula, hay que tener en consideración los siguientes aspectos:
En el desarrollo de (a + b)n hay (n+1) términos.
Los exponentes de a se reducen de 1 en 1 desde n hasta 0.Los exponentes de b aumentan de 1 en 1 desde 0 hasta n.
Las suma de los exponentes de a y b en cada uno de términos es igual a n.
Los coeficientes del primer y último términos son ambos iguales a 1
Los coeficientes del segundo y penúltimo término son ambos iguales axn.
Los coeficientes de los términos tienen simetría con relación del término central (si n es par) ocon respecto de los dostérminos centrales (si n es impar).
Ejemplo:
(X-1)=X7-7X61+21X512-35X413+35X314-21X215+7X16-17
= X7-7X61+21X5-35X4+35X3-21X2+7X-1
En la matemática el triángulo Pascal representa a todos los coeficientes de los binomios, que se encuentran ordenadas de forma triangular. Tiene dicho nombre en honor al francés matemático Blaise Pascal quien en 19654 realizó dicha notación, aunque ya era conocidapor los asiáticos, pero a pesar de ello Pascal fue quien desarrolló las aplicaciones de la misma como también de organizarla en un conjunto.
La construcción del triángulo se realiza a través de las siguientes formulas:
Si entonces
Para todo entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n.
La aplicación de este triángulo se enfoca en algebra ya que permite calcular de una manerapráctica los números combinatorios.
Ejemplo:
El triángulo de Pascal indica cuántas combinaciones de caras y cruces de pueden salir tirando monedas. Averiguando la probabilidad de cualquier combinación.
Si se tira una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y una cruz (CCX, CXC, XCC), también tres de sacar una cara y doscruces (CXX, XCX, CXX) y sólo una de sacar tres cruces (XXX). Esta es la pauta "1,3,3,1" en el triángulo de Pascal.
¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 4 monedas?
Hay 1+4+6+4+1 = 16 (o 4×4=16) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente dos caras. Así que la probabilidad es 6/16, o 37.5%
Para aplicar la regla de Laplace, que consiste en calcular tantos los sucesosfavorables como también los posibles, en el cual se puede expresar en la siguiente formula:
Pero algunas veces es complicado determinar el número de casos favorables y casos posibles, lo que genera la utilización de las reglas matemáticas, que serían el cálculo de las combinaciones, derivaciones y las permutaciones.
Combinaciones
Este cálculo permite determinar el número de subgrupos de uno,dos, tres, entre otros elementos que se puedan integrar con los “n” elementos de una muestra, en el cual cada subgrupo se distingue de los demás elementos que lo compone, sin que afecte en el orden. La fórmula es:
Para llevar a cabo los cálculos, se deben tomas en cuenta los siguientes puntos:
No entran todos los elementos
No importa el orden
No se repiten los elementos
Existen varios...
El binomio de Newton es una fórmula que permite desarrollar de una manera más rápida la potencia de un entero positivo de un binomio. Este método expresa que se puede expandir la potencia (x + y)n en una suma en donde los términos se expresarían de la siguiente manera: axbyc, en el cual tanto elexponente b y c son siempre números naturales y la suma de ellos es igual a n de la primera fórmula mencionada anteriormente, y el coeficiente a sin importar el termino, siempre va a ser un numero entero positivo que dependerá de n y b.
La aplicación de la fórmula del binomio de Newton es principalmente utilizada para calcular las potencias de un binomio al utilizar números combinatorios. Teniendo encuenta que la formula (a + b)n expresa la potencia como la suma de varios números, y para lograr saber el valor de cualquiera de sus coeficientes es necesario utilizar el triángulo de Tartaglia.
Para la realización de la formula, hay que tener en consideración los siguientes aspectos:
En el desarrollo de (a + b)n hay (n+1) términos.
Los exponentes de a se reducen de 1 en 1 desde n hasta 0.Los exponentes de b aumentan de 1 en 1 desde 0 hasta n.
Las suma de los exponentes de a y b en cada uno de términos es igual a n.
Los coeficientes del primer y último términos son ambos iguales a 1
Los coeficientes del segundo y penúltimo término son ambos iguales axn.
Los coeficientes de los términos tienen simetría con relación del término central (si n es par) ocon respecto de los dostérminos centrales (si n es impar).
Ejemplo:
(X-1)=X7-7X61+21X512-35X413+35X314-21X215+7X16-17
= X7-7X61+21X5-35X4+35X3-21X2+7X-1
En la matemática el triángulo Pascal representa a todos los coeficientes de los binomios, que se encuentran ordenadas de forma triangular. Tiene dicho nombre en honor al francés matemático Blaise Pascal quien en 19654 realizó dicha notación, aunque ya era conocidapor los asiáticos, pero a pesar de ello Pascal fue quien desarrolló las aplicaciones de la misma como también de organizarla en un conjunto.
La construcción del triángulo se realiza a través de las siguientes formulas:
Si entonces
Para todo entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n.
La aplicación de este triángulo se enfoca en algebra ya que permite calcular de una manerapráctica los números combinatorios.
Ejemplo:
El triángulo de Pascal indica cuántas combinaciones de caras y cruces de pueden salir tirando monedas. Averiguando la probabilidad de cualquier combinación.
Si se tira una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y una cruz (CCX, CXC, XCC), también tres de sacar una cara y doscruces (CXX, XCX, CXX) y sólo una de sacar tres cruces (XXX). Esta es la pauta "1,3,3,1" en el triángulo de Pascal.
¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 4 monedas?
Hay 1+4+6+4+1 = 16 (o 4×4=16) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente dos caras. Así que la probabilidad es 6/16, o 37.5%
Para aplicar la regla de Laplace, que consiste en calcular tantos los sucesosfavorables como también los posibles, en el cual se puede expresar en la siguiente formula:
Pero algunas veces es complicado determinar el número de casos favorables y casos posibles, lo que genera la utilización de las reglas matemáticas, que serían el cálculo de las combinaciones, derivaciones y las permutaciones.
Combinaciones
Este cálculo permite determinar el número de subgrupos de uno,dos, tres, entre otros elementos que se puedan integrar con los “n” elementos de una muestra, en el cual cada subgrupo se distingue de los demás elementos que lo compone, sin que afecte en el orden. La fórmula es:
Para llevar a cabo los cálculos, se deben tomas en cuenta los siguientes puntos:
No entran todos los elementos
No importa el orden
No se repiten los elementos
Existen varios...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.