Binomio
Páginas: 3 (649 palabras)
Publicado: 25 de mayo de 2014
Binomio de Newton
En matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con elteorema, es posible expandir la potencia (x + y)n en una suma que implica términos de la forma axbyc, donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y el coeficiente a de cada término esun número entero positivo que depende de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término. Por ejemplo,
El coeficiente a en los términos de xbyc -xcyb es conocido como el coeficiente binomial o (los dos tienen el mismo valor).
Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de (que también es representado ocasionalmentecomo o) se obtiene la siguiente representación:
El coeficiente de en el desarrollo de es
Donde recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos apartir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:
Ejemplo
Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientes del triángulode Pascal:
Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en los términos con potencias impares de y. La expresión (2) queda de la siguiente forma:Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:
Donde r puede ser cualquier número real (en particular, r puede ser cualquier número real, nonecesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:
(El k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1),etc., no aparecen en ese caso).
Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:
La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean...
En matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con elteorema, es posible expandir la potencia (x + y)n en una suma que implica términos de la forma axbyc, donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y el coeficiente a de cada término esun número entero positivo que depende de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término. Por ejemplo,
El coeficiente a en los términos de xbyc -xcyb es conocido como el coeficiente binomial o (los dos tienen el mismo valor).
Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de (que también es representado ocasionalmentecomo o) se obtiene la siguiente representación:
El coeficiente de en el desarrollo de es
Donde recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos apartir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:
Ejemplo
Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientes del triángulode Pascal:
Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en los términos con potencias impares de y. La expresión (2) queda de la siguiente forma:Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:
Donde r puede ser cualquier número real (en particular, r puede ser cualquier número real, nonecesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:
(El k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1),etc., no aparecen en ese caso).
Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:
La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean...
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