Binomio
Páginas: 10 (2364 palabras)
Publicado: 27 de julio de 2015
BINOMIO DE NEWTON
página 171
BINOMIO DE NEWTON
Los productos notables tienen la finalidad de obtener el resultado de ciertas multiplicaciones sin hacer
dichas multiplicaciones. Por ejemplo, cuando se desean multiplicar los binomios conjugados siguientes:
( 7 xy
2
+ 3a )( 7 xy 2 − 3a ) , para evitar realizar las operaciones correspondientes a fin de obtener el resul-
tado
7 xy 2 + 3a
7 xy2 − 3a
49 x 2 y 4 + 21axy 2
− 21axy 2 − 9a 2
49 x 2 y 4
− 9a 2
se conoce la regla de los binomios conjugados que establece que el resultado es el cuadrado del primer
término menos el cuadrado del segundo, con lo que directamente se obtiene, sin necesidad de realizar toda
la operación, que
( 7 xy
2
+ 3a )( 7 xy 2 − 3a ) = 49 x 2 y 4 − 9a 2
De manera semejante, para obtener el resultado sinefectuar operaciones de elevar un binomio ( x + y )
a cierta potencia n , en donde n debe ser un número natural, es decir un entero positivo, existe una regla
llamada binomio de Newton.
Se puede deducir la regla observando las características comunes que tienen los siguientes desarrollos:
página 172
BINOMIO DE NEWTON
x+ y = x+ y
( x + y)
2
= x 2 + 2 xy + y 2
( x + y)
3
= x 3 + 3x 2 y + 3xy2 + y 3
( x + y)
4
= x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 xy 3 + y 4
( x + y)
5
= x 5 + 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 + 10 x 2 y 3 + 5 xy 4 + y 5
(x + y)
6
= x 6 + 6 x 5 y + 15 x 4 y 2 + 20 x 3 y 3 + 15 x 2 y 4 + 6 xy 5 + y 5
a)
El primer término es x n .
b)
El segundo término es nx n − 1 y . De aquí en adelante no se puede continuar estableciendo una
regla para cada término que sigue, pues si elbinomio está elevado al cubo tiene cuatro términos mientras que si está a la séptima tendrá ocho, así que si se establece la regla para el quinto
término el binomio al cubo no llega hasta allí. Siempre habría términos faltantes o sobrantes
dependiendo de la potencia del binomio. Deben ponerse características generales, es decir, que
todos los términos las tengan.
Al pasar de un término al siguiente,el exponente de x se reduce en uno mientras que el exponente de y aumenta en uno.
c)
d)
Cada desarrollo tiene n + 1 términos.
e)
La suma de los exponentes en cada término de x y de y es n.
f)
El último término es y n .
g)
El coeficiente de cada término se forma, a partir del término anterior, multiplicando el coeficiente por el exponente de x y dividiéndolo entre el número de términos quese llevan construidos. O bien, n C k −1 , en donde k es el ordinal que ocupa el término a calcularse.
h)
Los coeficientes son simétricos.
En el binomio anterior ( x + y ) , la literal x representa realmente al "primer término del binomio"
n
mientras que la literal y significa "el segundo término del binomio".
Para desarrollar un binomio elevado a la potencia n deben hacerse cumplir lascondiciones anteriores.
El proceso completo consta fundamentalmente de dos pasos: uno, indicar el desarrollo y dos, el desarrollo
ya efectuado. Es importante hacer notar que el inciso g) debe aplicarse cuando está indicado apenas el
desarrollo, no cuando ya se desarrolló cada término. Para mayor claridad, ver el ejemplo 1. Además, el
resultado final debe escribirse de manera que cada término estéordenado, es decir, que las literales aparezcan en orden alfabético.
BINOMIO DE NEWTON
página 173
Ejemplo 1:
( 2a + b )
Solución:
En este caso, x = 2a ; y = b.
5
a)
El primer término es x = ( 2a ) .
b)
El segundo término es
c)
El coeficiente del tercer término se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior (5)
por el exponente de (2a) que es 4 y eso entre el número detérminos que van, es decir entre 2:
5
n
nx n − 1 y = 5 ( 2a ) ( b )
4
5× 4
= 10
2
así que el tercer término es
10 ( 2a ) ( b ) , o bien 5 C3 − 1 = 5 C 2 = 10
3
2
y así sucesivamente. De manera que el desarrollo del binomio es
( 2a )
5
+ 5 ( 2a )
4
(b) +
5× 4
10 × 3
10 × 2
3
2
2
3
4
5
( 2a ) ( b ) +
( 2a ) ( b ) +
( 2a )( b ) + ( b )
2
3
4
N
10
= ( 2a ) + 5 ( 2a )
5
4
10
( b ) + 10...
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BINOMIO DE NEWTON
Los productos notables tienen la finalidad de obtener el resultado de ciertas multiplicaciones sin hacer
dichas multiplicaciones. Por ejemplo, cuando se desean multiplicar los binomios conjugados siguientes:
( 7 xy
2
+ 3a )( 7 xy 2 − 3a ) , para evitar realizar las operaciones correspondientes a fin de obtener el resul-
tado
7 xy 2 + 3a
7 xy2 − 3a
49 x 2 y 4 + 21axy 2
− 21axy 2 − 9a 2
49 x 2 y 4
− 9a 2
se conoce la regla de los binomios conjugados que establece que el resultado es el cuadrado del primer
término menos el cuadrado del segundo, con lo que directamente se obtiene, sin necesidad de realizar toda
la operación, que
( 7 xy
2
+ 3a )( 7 xy 2 − 3a ) = 49 x 2 y 4 − 9a 2
De manera semejante, para obtener el resultado sinefectuar operaciones de elevar un binomio ( x + y )
a cierta potencia n , en donde n debe ser un número natural, es decir un entero positivo, existe una regla
llamada binomio de Newton.
Se puede deducir la regla observando las características comunes que tienen los siguientes desarrollos:
página 172
BINOMIO DE NEWTON
x+ y = x+ y
( x + y)
2
= x 2 + 2 xy + y 2
( x + y)
3
= x 3 + 3x 2 y + 3xy2 + y 3
( x + y)
4
= x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 xy 3 + y 4
( x + y)
5
= x 5 + 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 + 10 x 2 y 3 + 5 xy 4 + y 5
(x + y)
6
= x 6 + 6 x 5 y + 15 x 4 y 2 + 20 x 3 y 3 + 15 x 2 y 4 + 6 xy 5 + y 5
a)
El primer término es x n .
b)
El segundo término es nx n − 1 y . De aquí en adelante no se puede continuar estableciendo una
regla para cada término que sigue, pues si elbinomio está elevado al cubo tiene cuatro términos mientras que si está a la séptima tendrá ocho, así que si se establece la regla para el quinto
término el binomio al cubo no llega hasta allí. Siempre habría términos faltantes o sobrantes
dependiendo de la potencia del binomio. Deben ponerse características generales, es decir, que
todos los términos las tengan.
Al pasar de un término al siguiente,el exponente de x se reduce en uno mientras que el exponente de y aumenta en uno.
c)
d)
Cada desarrollo tiene n + 1 términos.
e)
La suma de los exponentes en cada término de x y de y es n.
f)
El último término es y n .
g)
El coeficiente de cada término se forma, a partir del término anterior, multiplicando el coeficiente por el exponente de x y dividiéndolo entre el número de términos quese llevan construidos. O bien, n C k −1 , en donde k es el ordinal que ocupa el término a calcularse.
h)
Los coeficientes son simétricos.
En el binomio anterior ( x + y ) , la literal x representa realmente al "primer término del binomio"
n
mientras que la literal y significa "el segundo término del binomio".
Para desarrollar un binomio elevado a la potencia n deben hacerse cumplir lascondiciones anteriores.
El proceso completo consta fundamentalmente de dos pasos: uno, indicar el desarrollo y dos, el desarrollo
ya efectuado. Es importante hacer notar que el inciso g) debe aplicarse cuando está indicado apenas el
desarrollo, no cuando ya se desarrolló cada término. Para mayor claridad, ver el ejemplo 1. Además, el
resultado final debe escribirse de manera que cada término estéordenado, es decir, que las literales aparezcan en orden alfabético.
BINOMIO DE NEWTON
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Ejemplo 1:
( 2a + b )
Solución:
En este caso, x = 2a ; y = b.
5
a)
El primer término es x = ( 2a ) .
b)
El segundo término es
c)
El coeficiente del tercer término se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior (5)
por el exponente de (2a) que es 4 y eso entre el número detérminos que van, es decir entre 2:
5
n
nx n − 1 y = 5 ( 2a ) ( b )
4
5× 4
= 10
2
así que el tercer término es
10 ( 2a ) ( b ) , o bien 5 C3 − 1 = 5 C 2 = 10
3
2
y así sucesivamente. De manera que el desarrollo del binomio es
( 2a )
5
+ 5 ( 2a )
4
(b) +
5× 4
10 × 3
10 × 2
3
2
2
3
4
5
( 2a ) ( b ) +
( 2a ) ( b ) +
( 2a )( b ) + ( b )
2
3
4
N
10
= ( 2a ) + 5 ( 2a )
5
4
10
( b ) + 10...
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