BINOMIOS

Binomio al cuadrado
(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2
(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9
Suma por diferencia
(a + b) · (a − b) = a2− b2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2− 52 = 4x2− 25
Binomio al cubo
(a ± b)3 = a3 ± 3 · a2 · b + 3 · a · b2 ± b3
(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =
= x 3 + 9 x2 + 27 x + 27
(2x -3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33=
= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27
Trinomio al cuadrado
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
(x2 − x + 1)2 =
= (x2)2 + (-x)2 + 12 +2 · x2 · (-x) + 2 x2 · 1 + 2 · (-x) · 1=
= x4 + x2 + 1 - 2x3 + 2x2 - 2x=
= x4- 2x3 + 3x2 - 2x + 1
Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)
Diferenciade cubos
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)
Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6
Ejercicios resueltos de productos notables
1 Desarrolla los binomios al cuadrado.
1(x + 5)2 =
= x2 + 2 · x · 5 + 52 =
= x 2 + 10 x + 25
2(2x - 5)2 =
=(2x)2 - 2 · 2x ·5 + 52 =
= 4x2 - 20 x + 25
2(2x - 5)2 =
= (2x)2 - 2 · 2x ·5 + 52 =
= 4x2 - 20 x + 25
4


2Desarrolla los binomios al cubo.
1 (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33=
= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27
2(x + 2)3 = x 3 + 3 · x2 ·2 + 3 · x· 2 2 + 23 =
= x3 + 6 x2 + 12 x + 8
3(3x - 2)3 = (3 x)3− 3 · (3x)2 ·2 + 3 · 3x· 2 2− 23 =
=27x 3 − 54 x2 + 36 x − 8
4(2x +5)3 = (2 x)3 + 3 ·(2x)2 ·5 + 3 · 2x· 52 + 5 3 =
= 8x3 + 60 x2 + 150 x + 125
3Desarrolla las sumas por diferencias
1(3x - 2) · (3x + 2) =
= (3x)2 − 22 =
= 9x2 − 4
2(x + 5) · (x − 5) =
= x2 − 25
3(3x - 2) · (3x + 2) =
= (3x)2 − 22 =
= 9x4 − 4
4(3x - 5) · (3x - 5) =
= (3x) 2 − 52 =
= 9x 2 − 25












1). (2x+3y)²= 2). (5x²-3y)²= 3). (4x+3) (4x-3)=4). (5-8a) (5+8a)= 5). (2x-1)³=
6). (2x²+8y)³= 7). (7xy²-5)³= 8). (2x-3)²= 9). (2x-3)³= 10). (1-y) (1+y)=
11). (7-4x)²= 12). (4x+3)²= 13). (2x/3+2)²= 14). 5x²/2+3)³=
Vamos paso a paso:

1). (2x+3y)²= Binomio al cuadrado ==> se transforma en Trinomio cuadrado perfecto
=(2x)² +2*2x*3y +(3y)²=
=4x² +12xy +9y²
2). (5x²-3y)²=
=(5x²)² +2*5x² (-3y)+(-3y)²=
=25x^4 -30x²y +9y²
3). (4x+3) (4x-3)= Diferencia de cuadrados
=(4x)² -3²=
=16x -9
4). (5-8a) (5+8a)=
=5² -(8a)² =
=25 -64a²
5). (2x-1)³= Binomio al cubo se transforma en Cuatrinomio cubo perfecto
=(2x)³ +3*(2x)²(-1) + 3*2x *(-1)² +(-1)³ =
= 8x³ - 12x² +6x -1
6). (2x²+8y)³=
=(2x²)³ +3(2x²)² *8y +3*2x²(8y)² +(8y)³ =
= 8x^6 +96x^4y +384x²y² +512y³
7). (7xy²-5)³=
=(7xy²)³+3(7xy²)² (-5) +(3*7xy²(-5)² +(-5)³ =
= 343x³y^6 -735x²y^4 + 525 xy² - 125
8). (2x-3)²=
=(2x)² +2(2x)(-3) +(-3)²=
= 4x² -12x +9
9). (2x-3)³=
(2x)³ +3(2x)²(-3) + 3*2x (-3)² +(-3)³
8x³ -18x² +54x -27
10). (1-y) (1+y)=
=1² - y² =
= 1 -y²
11). (7-4x)²=
=7² +2*7*(-4x) +(-4x)²=
= 49 -56 +16x²
12). (4x+3)²=
=(4x)² +2*4x *3 + 3²=
=16x² +24x +9
13). (2x/3+2)²=
=(2x/3)² +2*(2x/3) *2 +2²=
= 4x²/9+ 8x/3 +4
14). 5x²/2+3)³=
=(5x²/2)³ +3*((5x²/2)² *3+3*(5x²/2)*3² +3³=
= (125x^6)/8 + 3*((125x^4)/4) *3 +15x²/2*9 +27=
= (125x^6)/8 + 1125x^4/4 + 135x²/2




Factor común
Representación gráfica de la regla de factor común.
El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

Para esta operación existe una interpretacióngeométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es
(el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: ca y cb.
Ejemplo:

Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio
Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada...