bioestadistica

Departamento de Matemáticas. Universidad de Sonora

3. OPERACIONES CON FUNCIONES.
Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre funciones son posibles y
semejantes a las correspondientes efectuadas con los números. En esta sección
definiremos la composición de funciones y la función inversa de una función; estos dos
conceptos –composición e inversión de funciones- sonimportantes en el desarrollo del
cálculo. Reconocer una suma, producto, cociente o composición de funciones es útil
porque permite descomponer funciones complicadas en otras más sencillas.
3.1 Álgebra de funciones.
En esta sección consideraremos las operaciones con funciones. Las funciones obtenidas
a partir de estas operaciones –llamadas la suma, la diferencia, el producto y la división
sedefinen como sigue:
Definición 3.1.
Sean f y g dos funciones y supongamos que Df y Dg denotan los dominios de f
y g, respectivamente. La función f + g está definida por
(f + g )(x) = f(x) +g(x)
El dominio de f + g es Df ∩ Dg
Ejemplo 3.1.
Sea f(x) = x y g(x) = x . Entonces (f + g) (x) = x + x . El dominio de f es (−∞,∞) y el
dominio de g es [0, ∞). Así el dominio de f + g es Df ∩Dg = (-∞, ∞) ∩[0, ∞) = [0, ∞).
Ejemplo 3.2.
Sea f(x) = x3 – 1 y g(x) = 4x. Si x = 3, entonces f(3) = (3)3 – 1 = 26 y g(3) = 4(3) = 12.
Así, (f + g) (3) = f(3) + g(3) = 26 – 12 = 14.
Definición 3.2.
Sean f y g dos funciones y supongamos que Df y Dg denotan los dominios de f
y g, respectivamente. La función f - g está definida por
(f – g)(x) = f(x) - g(x)
El dominio de f - g es Df ∩ Dg
Ejemplo 3.3.
Seaf(x) = x + 1 y g(x) = x − 4 , entonces f( - g)(x) = f(x) – g(x) = x + 1 - x − 4 .
El dominio de f es [-1, ∞), y el dominio de g es [4, ∞). El dominio de f – g es Df ∩ Dg =
[-1, ∞) ∩ [4, ∞) = [4, ∞).
Definición 3.3.
Sean f y g dos funciones y Df y Dg denotan los dominios de f y g,
respectivamente. La función f ⋅ g está definida por
(f ⋅ g)(x) = f(x)⋅ g(x). El dominio de f ⋅ g es Df ∩ Dg

1Dr. José Luis Díaz Gómez

Departamento de Matemáticas. Universidad de Sonora

Ejemplo 3.4.
Sea f(x) = x – 2 y g(x) = x + 2. Entonces (f⋅g)(x) = f(x) g(x) = ( x + 2 )( x - 2) = x2 - 4.
El dominio de f es (−∞, ∞) y el dominio de g es (−∞, ∞). Por tanto el dominio de f ⋅ g es
Df ∩ Dg = (−∞, ∞).
Ejemplo 3.5.
Sea f(x) = | x | y g(x) = 5. Entonces (f ⋅g)(x) = f(x) g(x) = | x |⋅5. El dominiode f es 3 y
el dominio de g es 3. Entonces el dominio de f ⋅ g es Df ∩ Dg = 3. Si x = -2, entonces (f ⋅
g)(-2) = f(-2) ⋅ g(-2) = |-2|5 = 2⋅5 = 10.
Definición 3.4.
Sean f y g dos funciones y Df , Dg sus dominios respectivamente. Entonces la
función f/g está definida por:
(f/g)(x) = f(x)/g(x) , g(x) ≠ 0
El dominio de f /g es Df ∩ Dg excluyendo los valores de x para los cuales g(x)
= 0.Ejemplo 3.6.
Si f(x) = x + 4 y g(x) = x2 – 1. Entonces (f/g) (x) = f(x) / g(x) = x + 4/(x2 – 1). El
dominio de f y el de g son los números reales. La función g(x) = x2 – 1 es cero para x =
1 y x = -1. Por lo tanto el dominio de f/g es R – {-1, 1}
Ejemplo 3.7.
Si f(x) =

x y g(x) =

− x . Encuentre (f/g) (x).

Solución:
El dominio de f es [0, ∞) y el dominio de g es (-∞, 0]. Entonces Df∩Dg = {0}, pero
g(x) = − x es cero para x = 0. Ahora el dominio de f/g es Df ∩Dg excluyendo los
valores para los cuales g(x) es igual a cero. Por lo tanto el dominio de f/g es el conjunto
vacío. De donde se tiene que la función (f/g)(x) = x / − x no tiene dominio.
Ejemplo 3.8
Sea f(x) = 4 − x 2 y g(x) = 3x + 1. Encuentre a) la suma, b) la diferencia, c) el
producto y d) la división de f y g.Solución:
El dominio de f es el intervalo cerrado [-2, 2] y el dominio de g es 3. En consecuencia la
intersección de sus dominios es [-2, 2] y las funciones pedidas están dadas por
a) f(+g) (x) =

4 − x 2 + (3x + 1)

b) (f-g) (x) =

4 − x 2 - (3x + 1)

c) (f ⋅ g) (x) = ( 4 − x 2 ) ⋅ (3x + 1)
d) (f ⋅ g) (x) =

4 − x 2 / (3x + 1)

El dominio de (a), (b) y (c) es el intervalo [-2,...