bioestadisticas

TEMA 5. MODELOS DE PROBABILIDAD
CONTINUOS

5.1 Distribución Normal
5.1.1 La media y la varianza
5.1.2 Representación gráfica
5.1.3 Distribución Normal tipificada
5.1.4 Uso de tablas
5.1.5Aditividad
5.1.6 Aproximación de una Binomial a Normal
5.2 Otros modelos continuos

129

™ 5.1 Distribución Normal
¾ Una

variable aleatoria continua, X, sigue una

distribución normal deparámetros O y σ

X → N (µ; σ )
si su función de densidad es:

f ( x) =

1
e
σ 2π

( x − µ )2
−
2σ 2

−∞ < x < ∞
−∞ < µ < ∞
σ >0

donde

ƒ Puede comprobarse que se verifica:
+∞

∫−∞

f ( x) dx =

+∞

∫

−∞

1
e
σ 2π

( x − µ )2
−
2σ 2

dx = 1

130

^ 5.1.1

La media y la varianza

™ Media

E[X ] = µ

™ Varianza

Var [ X ] = σ 2

™Desviación típica

σ = Var[ X ]

131

^ 5.1.2

Representación gráfica

^ Campana de Gauss

f(x)

−∞

µ

0
+∞

∫

x

∞

f ( x) dx = 1

−∞

¾ Se verifica:
^ La curva es simétricarespecto a µ
^ La media, la moda y la mediana coinciden

132

™ Función de distribución

x1

F ( x1 ) = P( X ≤ x1) =

∫

f ( x) dx =

−∞

=

x1

∫

−∞

1
e
σ 2π

( x − µ)2
−
2σ 2

dx

f(x)

−∞

µ

x1

∞

Área a la izquierda del punto x1

133

^ 5.1.3

Distribución Normal tipificada

¾ Una

variable aleatoria continua, X, sigue unadistribución normal de parámetros µ = 0 y σ = 1

X → N ( 0; 1)
si su función de densidad es:

x2

1 −2
f ( x) =
e
2π
E[X ] = µ = 0
D. T .[ X ] = σ = 1

Var [ X ] = σ 2 = 1

 Si X → N ( µ ; σ), entonces la variable aleatoria

X −µ
→ N ( 0; 1)
Z=
σ

134

™ Representación gráfica de la función de

densidad de la distribución Normal tipificada

f(z)

−∞

µ =0
+∞

∫

∞f ( z ) dz = 1

−∞

¾ Se verifica:
^ La curva es simétrica respecto a 0
^ La media, la moda y la mediana coinciden

135

™ Función de distribución de la

Normal tipificada
z1...