biografia

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
UNIVERSIDAD EXPERIMENTAL POLITECNICA
DE LAS FUERZAS ARMADAS



TRANSFORMACIONES LINEALES



Bachilleres: Profesora:
Kelimar RuizMiguel Idrogo
C.I: 22710456





Enero del 2014


Transformación lineal
Así como cuando se estudian las funciones reales interesan especialmente las funciones continuas, cuando se estudian funciones de un espacio vectorial en otro interesan aquellas que poseen ciertas propiedades especiales, por ejemplo las que conservan operaciones. Es decir, que la funciónsea tal que "conserve" las dos operaciones fundamentales que definen la estructura de espacio vectorial. 
En síntesis, podemos dar la siguiente definición:
Una función T: V ® W (de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W) 
se dice una transformación lineal si, para todo a, b Î V, 
k Î  K (K es el cuerpo de escalares) se tiene:

T (a + b) = T (a) + T (b)

T (k a) = k T (a)
Que sepuede resumir en T (a a + b b) = a T (a) + b T (b), llamada propiedad de linealidad.
Si T: V ® W es una transformación lineal, el espacio V se llama dominio de T y el espacio W se llama condominio de T.
Ejemplo 1.
A partir de la definición, analicemos si es lineal la siguiente transformación:

T: R2 ® R3 / " x Î  R2 : T ((x1, x2)) = (x1 + x2, x1 - x2, x2)

Se deben verificar las doscondiciones de la definición:

a) ¿ " x, y Î  R2 : T (x + y) = T (x) + T (y) ?

x = (x1, x2)
y = (y1, y2) 
x + y = (x1 + y1, x2 + y2) 

T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 + y1 - x2 - y2, x2 + y2) = (x1 + x2, x1 - x2, x2) + (y1 + y2, y1 - y2, y2) = T (x) + T (y)

b) ¿ " x Î  R2, " k Î  R : T (k x) = k T (x) ?

T (k x) = T (k (x1, x2)) = T (k x1, k x2) = (k x1 + k x2, kx1 - k x2, k x2) = k (x1 + x2, x1 - x2, x2) = k T (x)
Ejemplo 2.
Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: R2 ® R2 / " x Î  R2 : T ((x1, x2)) = (x2, x1 + 2)

Se deben verificar las dos condiciones de la definición:

a) ¿ " x, y Î  R2 : T (x + y) = T (x) + T (y) ?

x = (x1, x2)
y = (y1, y2) 
x + y = (x1 + y1, x2 + y2) 

T (x) + T (y)  = (x2, x1 + 2) + (y2, y1 + 2) = (x2 + y2, x1 + y1 +4)
T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x2 + y2, x1 + y1 + 2) ¹ T (x) + T (y) 
No se verifica esta condición, entonces la transformación no es lineal.
Ejemplo 3. 
Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: Mn x n ® R / " v Î Mn x n : T (v) = det(v)

Sabemos que det(A + B) ¹ det(A) + det(B), y det(kA) = kn det(A) ¹  k det(A), entonces esta transformación no es lineal.
PROPIEDADES DE LASTRANSFORMACIONES LINEALES
Para toda transformación lineal T: V ® W, T (-x) = -T (x)
Para toda transformación lineal T: V ® W, T (0) = 0 ( El que aparece en la izquierda es el vector nulo de V, mientras que el que aparece en el lado derecho es el vector nulo de W. Se puede escribir también T (0V) = 0W )
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, W un espacio vectorial, {v1,..., vn} una base deV, y {z1,..., zn} un conjunto cualquiera de vectores de W. Entonces existe una única transformación lineal T: V ® W tal que T (vi) = zi (1 ≤ i ≤ n)
Núcleo e imagen de una transformación lineal.

En esta sección se desarrollan algunas propiedades  básicas de las transformaciones lineales.
Teorema 1. Sea T: V  W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2,….vn en Vy todos los escalares

 Nota  en la parte i el 0 de la izquierda es el vector cero en v; mientras que el cero de la derecha es el vector cero en W.
i. T(0) = T(0 + 0)= T(0) + T(0). Así 0= T(0) – T(0) = T(0) + t(0) – T(0) = T(0)
ii.T(u-v) = T[u + (-1)v] = Tu + T[(-1)v] = Tu + (-1)Tv = Tu – Tv.
iii.Esta parte se prueba por inducción (vea el apéndice 1). Para n = 2 se tiene T(α1v1 + α2v2) = T...