Biologia 2

MATEMÁTICAS IV

UNIDAD 1: Funciones Polinomiales

Los divisores del término independiente son fundamentales para aplicar el teorema de
las raíces racionales (segundo método), el cual estudiaremos con mayor detalle en el
siguiente punto. Por el momento es bueno saber identificar al término independiente y
sus divisores, ya que preparará al alumno para entender lo que se estudiaráposteriormente.
Actividad
Completar la siguiente tabla, donde para cada función polinomial se identifica su
término independiente y sus divisores.
Función
T. I.
Divisores
2
P(x) = 7x + 7x – 12
–12
1, 2, 3, 4, 6, 12
3
2
F(x) = x + 7x + 7x
0
Ninguno
4
2
G(x) = 2x + 8x – x + 15
F(x) =
F(x) =
F(x) =
F(x) =

7x – 6
x5 + 7x4 + 7x2 – 10
–5x2 + 2x + 8
5x4 + 7x3 – x – 5

1.4.6)Identificación de tipos de raíz: Enteras, racionales, reales, complejas y su
multiplicidad.
Para hacerlo veremos dos métodos para encontrar los ceros de las funciones
polinomiales, estos son el Teorema de las Raíces Racionales y un método para
encontrar los ceros por Aproximaciones sucesivas.
Nota para el profesor: Proponemos algunos ejemplos que pueden ser vistos en
clase o dejarse de lecturaa los alumnos. Estos les harán comprender como se
utiliza estos métodos para encontrar los ceros de una función polinomial.

a) Teorema de las Raíces Racionales
Si tenemos f(x) = anxn + an-1xn-1 + .........+ a1x1 + a0 (a0  0) una función polinomial de
p
grado n con coeficientes enteros, y si
en su mínima expresión es una raíz racional
q
de f(x) = 0, entonces p es factor de a0 y q esfactor de an.
Ejemplo 1. Encuentra todas las raíces racionales de la función P(x) = 2x3 – 3x2 – 8x – 3
y traza un bosquejo de su gráfica:
Solución:
Las raíces racionales si es que las hay, deben de ser de la forma
factor de a0 y q un factor de an.
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p
donde p es un
q

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UNIDAD 1: Funciones Polinomiales

Primero: Observa que a0 es el término independiente y en estecaso a0 = – 3 y an es el
coeficiente del término con mayor potencia de x, es decir, an = 2.
Segundo: Como p debe ser factor de –3 los posibles valores de p son : 1, 3.
Como q debe ser factor de 2 los posibles valores de q son : 1, 2
Tercero: Entonces las posibles raíces son:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3
, ,
,
,
,
,
,
,
, , ,
,
,
, , ,
1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 12 1 2 1 2
1
1
3
3
Simplificando, las posibles raíces son: 1, ,  1,  , 3, ,  3, 
2
2
2
2
Cuarto: Usando división sintética podemos verificar cuales son raíces, recuerda que
para que un número sea raíz el residuo debe ser cero.
Empecemos con los enteros positivos, el 1:
1 2
2

–3
2
–1

–8
–1
–9

–3
–9
–12

P(1)

Cómo el residuo no es cero, 1 no es raíz de P(x).Continuando ahora con 3:
3 2
2

–3
6
3

–8
9
1

–3
3
0

P(3)

Cómo el residuo es cero, 3 es raíz de P(x). Entonces por el Teorema del factor x – 3
es uno de sus factores, y la función polinomial se puede escribir como:
P(x) = (x – 3)(2x2 + 3x +1)
Ya conocemos una raíz, las otras dos las encontraremos resolviendo la ecuación de
segundo grado: 2x2 + 3x +1= 0 cuyas soluciones son:x2 = – ½ y x3 = – 1
Así los tres ceros de P(x) son: x1= 3,

x2=-½

y

x3= –1

Quinto: Una estrategia para trazar su gráfica es:
Para hacer un bosquejo de su gráfica recordemos que como es cúbica y el término
principal tiene signo positivo, la rama de la izquierda se extiende hacia abajo y la de la
derecha hacia arriba, además se sabe que la gráfica corta al eje X en los puntos x1= 3,x2=-½ y x3= –1. Para mayor información sobre la gráfica, se recomienda evaluar la
función en puntos que estén entre las raíces como se ve en la tabulación.

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UNIDAD 1: Funciones Polinomiales

P(–2) = –15
P(–¾) = 0.47
P(–¼) = – 1.22
P(1)= –12
P(2)= –15
P(4)= 45
Recordar que si el
término independiente
es – 3, la grafica
debe cortar al eje Y en
– 3....