Biologia

⎛ 1 0 −1 ⎞
⎛ 1 0⎞
⎛ 5 − 3 4⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
Sean las matrices A = ⎜ 0 m
3 ⎟ , B = ⎜ 3 2⎟ y C = C = ⎜
⎟
⎝ − 3 − 2 2⎠
⎜4 1 −m⎟
⎜ −1 1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
a) Indica los valores de m para los que A esinvertible.
b) Resuelve la ecuación XA − B t = C para m = 0 . ( B t es la matriz traspuesta de B)
MATEMÁTICAS II. 2010. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
a) La matriz A tiene inversa si su determinantees distinto de cero, luego:
1

0

−1

A = 0 m
3 = − m 2 + 4m − 3 = 0 ⇒ m = 1 ; m = 3
4 1 −m
Por lo tanto, la matriz A tendrá inversa para todos los valores de

m ≠1 y m ≠ 3.
⎛ − 3 12 0 ⎞⎛ − 3 −1 0 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
4 −1 ⎟
4 − 3⎟
⎜ −1
⎜ 12
⎜
⎟
0⎟
( Ad ) t ⎜ 0 − 3
⎠ = ⎝ 0 −1 0 ⎠
=⎝
A−1 =
A
−3
−3
t

b) Calculamos la matriz inversa de A.

Resolvemos la ecuaciónmatricial y calculamos la matriz X.

1
⎛
⎞
0⎟
⎜ 1
3
⎜
⎟
⎡⎛ 5 − 3 4 ⎞ ⎛ 1 3 − 1 ⎞ ⎤ ⎜
4
t
t
−1
⎟ = ⎛ 6 3 0⎞
1 ⎜
XA − B = C ⇒ X = (C + B ) ⋅ A = ⎢⎜
⎟+⎜
⎟⎥ ⋅ ⎜ − 4 −
⎟ ⎝ −3 0 0⎟
3
⎠
⎣⎝ −3 − 2 2 ⎠ ⎝ 0 2 1 ⎠ ⎦ ⎜
⎟
1
⎜ 0
0⎟
⎜
⎟
3
⎝
⎠

2⎞
⎛ 5 −4
⎜
⎟
Sea la matriz A = ⎜ 2 − 1
1⎟
⎜−4
4 −1⎟
⎝
⎠
a) Comprueba que se verifica 2 A − A 2 = I
b) Calcula A − 1 . (Sugerencia:Puedes usar la igualdad del apartado (a)).
MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.

a)

2A − A

⎛ 10
⎜
=⎜ 4
⎜ −8
⎝

2

2⎞ ⎛ 5 − 4
⎛ 5 −4
⎜
⎟ ⎜
1 ⎟ − ⎜ 2 −1
= 2 ⋅⎜ 2 −1
⎜−4
4 −1 ⎟ ⎜ − 4
4
⎝
⎠ ⎝
4⎞ ⎛ 9 −8
4⎞ ⎛1
−8
⎟ ⎜
⎟ ⎜
−2
2⎟ − ⎜ 4 −3
2⎟ = ⎜0
8 − 2 ⎟ ⎜ −8
8 −3⎟ ⎜0
⎠ ⎝
⎠ ⎝

b) De la igualdad del apartado a se deduce que:
⎛1 0 0⎞ ⎛ 5 − 4Luego: A = 2 ⋅ ⎜ 0 1 0 ⎟ − ⎜ 2 − 1
⎜
⎟ ⎜
⎜0 0 1⎟ ⎜ −4
4
⎝
⎠ ⎝
−1

2⎞ ⎛ 5 − 4
⎟ ⎜
1 ⎟ ⋅ ⎜ 2 −1
4
−1 ⎟ ⎜ − 4
⎠ ⎝

2⎞
⎟
1⎟ =
−1 ⎟
⎠

0 0⎞
⎟
1 0⎟
0 1⎟
⎠
2 A − A 2 = I ⇒ A ⋅ ( 2 I− A ) = I ⇒ A −1 = 2 I − A

2⎞ ⎛ −3
4 − 2⎞
⎟ ⎜
⎟
1⎟ = ⎜ −2
3 −1 ⎟
3⎟
−1 ⎟ ⎜ 4 − 4
⎠ ⎝
⎠

Obtén un vector no nulo v = (a , b, c ) , de manera que las matrices siguientes tengan...