biologia
Páginas: 7 (1551 palabras)
Publicado: 18 de marzo de 2014
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
El problema de valor inicial
( )
Donde K es constante, aparece en muchas teorías físicas que involucran crecimiento o bien
decrecimiento.
Por ejemplo:
En Biología a menudo se observa que la rapidez con que, en cada instante, ciertas bacterias se
multiplican, es proporcional al número de bacteriaspresente en dicho instante.
Para intervalos de tiempo cortos, la magnitud de una población de animales pequeños como de
roedores, puede predecirse con bastante exactitud mediante la solución del problema de valor
inicial.
La constante K se puede determinar a partir de la solución de la ecuación usando una medida
posterior a la de la población en el instante
.
En Física, proporciona un modelo paraaproximar la cantidad restante de una sustancia que se
desintegra radiactivamente.
En Química la cantidad restante de una sustancia durante ciertas reacciones también se describe
mediante este modelo.
Los problemas que describen crecimiento, como el de poblaciones, número de bacterias e incluso
capital, se caracterizan por un valor positivo de K; mientras que los problemas que involucrandecrecimiento, como la desintegración radiactiva darán un valor negativo de K.
NOTAS DE ELIZABETH FELIX MENDIVIL
Resolviendo la ecuación diferencial:
Separables:
∫
∫
( )
( )
Buscamos la solución que cumpla con la condición inicial,
( )
( )
Entonces la solución al problema de valor inicial es:
()
NOTAS DE ELIZABETH FELIX MENDIVIL
Ejemplos:
1.- La población deuna pequeña ciudad crece, en un instante cualquiera, con una rapidez
proporcional a la cantidad de habitantes en dicho instante. Su población inicial de 500 aumenta
15% en 10 años. ¿Cuál será la población dentro de 50 años?.
Datos:
( )
( )
( )
(
( )
)
()
()
Por encontrar el valor de K:
(
)
(
⇒
(
)
(
)
⇒
(
)
)
Sustituyendo K en la funciónsolución:
(
()
(
)
)
(
←
)(
La población en cualquier tiempo t
)
2.- La población de una colonia se duplica en 50 días. ¿En cuántos días se triplicará la población?.
Datos:
( )
( )
( )
( )
()
NOTAS DE ELIZABETH FELIX MENDIVIL
Encontrando K:
(
)
(
⇒
)
( )
( )
⇒
( )
Sustituyendo K en la función solución:
()
()
(
(
)
(
(←
)
)
)
La población en función de
⇒
( )
(
en cualquier tiempo t
)
( )
⇒
( )
3.- Inicialmente había 100 miligramos presentes de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas
la masa disminuyó en 3%. Si la rapidez de desintegración es, en un instante cualquiera
proporcional a la cantidad de sustancia presente en dicho instante, encuentre la cantidad que
quedadespués de un día.
Datos:
( )
( )
( )
( )
( )
()
()
Buscando el valor de K:
( )
⇒
NOTAS DE ELIZABETH FELIX MENDIVIL
)
(
(
(
)
(
()
(
)
)
⇒
)
(
(
←
)(
)
La cantidad de sustancia radiactiva en cualquier tiempo t
)
Semivida
En Física se llama semivida ( o impropiamente vida media) a una medida de la estabilidad de unasustancia radiactiva.
La semivida es simplemente el tiempo necesario para que se desintegren la mitad de los átomos
en una cantidad inicial
.
Cuando más larga es la semivida de una sustancia, tanto más estable es.
Ejemplos:
1.- Un reactor transforma el Uranio 238, que es relativamente estable en el isótopo plutonio 239.
Después de 15 años se determina que 0.043% de la cantidad inicial
deplutonio se ha
desintegrado. Determine la semivida de este isótopo si la rapidez de desintegración es
proporcional a la cantidad restante.
Datos:
( )
( )
( )
( )
( )
NOTAS DE ELIZABETH FELIX MENDIVIL
Por encontrar el valor de K:
(
)
(
⇒
)
(
(
( )
)
(
⇒
)
)
(
)
← La cantidad de plutonio en función de
Ahora bien, la semivida es el valor...
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
El problema de valor inicial
( )
Donde K es constante, aparece en muchas teorías físicas que involucran crecimiento o bien
decrecimiento.
Por ejemplo:
En Biología a menudo se observa que la rapidez con que, en cada instante, ciertas bacterias se
multiplican, es proporcional al número de bacteriaspresente en dicho instante.
Para intervalos de tiempo cortos, la magnitud de una población de animales pequeños como de
roedores, puede predecirse con bastante exactitud mediante la solución del problema de valor
inicial.
La constante K se puede determinar a partir de la solución de la ecuación usando una medida
posterior a la de la población en el instante
.
En Física, proporciona un modelo paraaproximar la cantidad restante de una sustancia que se
desintegra radiactivamente.
En Química la cantidad restante de una sustancia durante ciertas reacciones también se describe
mediante este modelo.
Los problemas que describen crecimiento, como el de poblaciones, número de bacterias e incluso
capital, se caracterizan por un valor positivo de K; mientras que los problemas que involucrandecrecimiento, como la desintegración radiactiva darán un valor negativo de K.
NOTAS DE ELIZABETH FELIX MENDIVIL
Resolviendo la ecuación diferencial:
Separables:
∫
∫
( )
( )
Buscamos la solución que cumpla con la condición inicial,
( )
( )
Entonces la solución al problema de valor inicial es:
()
NOTAS DE ELIZABETH FELIX MENDIVIL
Ejemplos:
1.- La población deuna pequeña ciudad crece, en un instante cualquiera, con una rapidez
proporcional a la cantidad de habitantes en dicho instante. Su población inicial de 500 aumenta
15% en 10 años. ¿Cuál será la población dentro de 50 años?.
Datos:
( )
( )
( )
(
( )
)
()
()
Por encontrar el valor de K:
(
)
(
⇒
(
)
(
)
⇒
(
)
)
Sustituyendo K en la funciónsolución:
(
()
(
)
)
(
←
)(
La población en cualquier tiempo t
)
2.- La población de una colonia se duplica en 50 días. ¿En cuántos días se triplicará la población?.
Datos:
( )
( )
( )
( )
()
NOTAS DE ELIZABETH FELIX MENDIVIL
Encontrando K:
(
)
(
⇒
)
( )
( )
⇒
( )
Sustituyendo K en la función solución:
()
()
(
(
)
(
(←
)
)
)
La población en función de
⇒
( )
(
en cualquier tiempo t
)
( )
⇒
( )
3.- Inicialmente había 100 miligramos presentes de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas
la masa disminuyó en 3%. Si la rapidez de desintegración es, en un instante cualquiera
proporcional a la cantidad de sustancia presente en dicho instante, encuentre la cantidad que
quedadespués de un día.
Datos:
( )
( )
( )
( )
( )
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Buscando el valor de K:
( )
⇒
NOTAS DE ELIZABETH FELIX MENDIVIL
)
(
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(
)
(
()
(
)
)
⇒
)
(
(
←
)(
)
La cantidad de sustancia radiactiva en cualquier tiempo t
)
Semivida
En Física se llama semivida ( o impropiamente vida media) a una medida de la estabilidad de unasustancia radiactiva.
La semivida es simplemente el tiempo necesario para que se desintegren la mitad de los átomos
en una cantidad inicial
.
Cuando más larga es la semivida de una sustancia, tanto más estable es.
Ejemplos:
1.- Un reactor transforma el Uranio 238, que es relativamente estable en el isótopo plutonio 239.
Después de 15 años se determina que 0.043% de la cantidad inicial
deplutonio se ha
desintegrado. Determine la semivida de este isótopo si la rapidez de desintegración es
proporcional a la cantidad restante.
Datos:
( )
( )
( )
( )
( )
NOTAS DE ELIZABETH FELIX MENDIVIL
Por encontrar el valor de K:
(
)
(
⇒
)
(
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⇒
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)
(
)
← La cantidad de plutonio en función de
Ahora bien, la semivida es el valor...
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