biologia

Tema 2. Sistemas de ecuaciones lineales

Estructura del tema.
• Definiciones b´sicas • Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales • Clasificaci´n de los
a
o
sistemas seg´n el n´mero de soluciones. Teorema de Rouch´-Frobenius • M´todos de resoluci´n.
u
u
e
e
o
M´todo de Cramer. M´todo de Gauss
e
e

0.1.

Definiciones b´sicas
a

Una ecuaci´n lineal es una ecuaci´npolin´mica de grado 1 en una o varias inc´gnitas. Es
o
o
o
o
decir, es una expresi´n de la forma
o
a1 x1 + ... + an xn = b
donde los t´rminos a1 , ..., an son n´meros reales conocidos que se llaman coeficientes; el t´rmino
e
u
e
b es tambi´n un n´mero real conocido que se llama t´rmino independiente, y por ultimo los
e
u
e
´
s´
ımbolos x1 , ..., xn se conocen como inc´gnitas y son apriori desconocidas. Para un n´mero
o
u
peque˜o de inc´gnitas, ser´ usual tambi´n denotarlas por las letras x, y, z, t, ...
n
o
a
e
Una soluci´n de una ecuaci´n es una asignaci´n de valores a las inc´gnitas de forma que se
o
o
o
o
verifique la igualdad.
Definici´n 0.1.1. Se llama sistema de m ecuaciones lineales con n inc´gnitas a un conjunto
o
o
de m ecuaciones lineales en las mismas ninc´gnitas:
o

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 



a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n x2 = b2 
.
....
....
...
....
.... 



am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm 

(1)

2

Llamaremos soluci´n del sistema a cada asignaci´n de valores de las inc´gnitas {x1 = k1 , ...,
o
o
o
xn = kn } que sea soluci´n com´n a todas las ecuaciones del sistema, es decir: que verifiquetodas
o
u
las igualdades simult´neamente. Se llama soluci´n general del sistema al conjunto de todas las
a
o
soluciones del sistema. Resolver un sistema es hallar su soluci´n general. Dos sistemas se dice que
o
son sistemas equivalentes si tienen la misma soluci´n general, es decir, si tienen exactamente las
o
mismas soluciones.
Para transformar un sistema en otro sistema equivalentepodemos realizar las siguientes operaciones elementales:
• Intercambiar dos ecuaciones.
• Multiplicar una ecuaci´n por un escalar no nulo.
o
• Sumar a una ecuaci´n un m´ltiplo de otra.
o
u
• Eliminar las ecuaciones triviales del tipo 0 = 0, las ecuaciones repetidas o las proporcionales.

0.2.

Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales

Cualquier sistema de ecuacioneslineales se puede expresar de forma matricial. Por ejemplo, (1)
se puede escribir como
AX = b,
donde



A=



a11 a12
a21 a22
...
...
am1 am2

... a1n
... a2n
... ...
... amn




,






X=



x1
x2
.
.
.













b=



y

xn

b1
b2
.
.
.




.



bm

A la matriz A se le llama matriz delsistema o de coeficientes. El vector X es el vector de
inc´gnitas y el vector b es el vector de los t´rminos independientes. Por ultimo llamamos
o
e
´
matriz ampliada a la matriz que se forma cuando a˜adimos a la matriz del sistema el vector de
n
los t´rminos independientes:
e


a11 a12 ... a1n b1


 a21 a22 ... a2n b2 
∗
.

A = (A|b) = 
... ... ...
... 

 ...
am1am2 ... amn bm
Como caso particular de sistemas cabe destacar los sistemas homog´neos:
e
Definici´n 0.2.1. Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es homog´neo si su vector de
o
e
t´rminos independientes es el vector nulo.
e
Observemos que un sistema homog´neo siempre admite la soluci´n trivial {x1 = 0, ..., xn = 0}.
e
o

0.3 Clasificaci´n de sistemas. Teorema de Rouch´-Frobeniuso
e

0.3.

3

Clasificaci´n de los sistemas seg´n el n´mero de soluciones. Teoo
u
u
rema de Rouch´-Frobenius.
e

Atendiendo a la existencia o no de soluciones de un sistema y al n´mero de ´stas se da la
u
e
siguiente clasificaci´n.
o
Definici´n 0.3.1. Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es un sistema incompatible si
o
no tiene soluci´n. Por el contrario se dice que...