biologia

FUNCIONES ACOTADAS

Funciones acotadas superiormente:

Una función f se dice que está acotada superiormente si existe un número real M tal que

Este número real M recibe el nombre de COTA SUPERIOR de la función f. Geométricamente significa que ninguna imagen es superior al valor M y, por tanto, la gráfica de la función f estará por debajo de la recta y = M.


Si M es una cotasuperior de la función f, cualquier otro número real M’ mayor que M, también es cota superior de f. En consecuencia, si una función está acotada superiormente siempre tendrá un conjunto de cotas superiores.

Funciones acotadas inferiormente:

Una función f se dice que está acotada inferiormente si existe un número real m tal que

Este número real m recibe el nombre de COTA INFERIOR dela función f. Geométricamente significa que ninguna imagen es inferior al valor m y, por tanto, la gráfica de la función f estará por encima de la recta y = m.

Si m es una cota superior de la función f, cualquier otro número real m’ menor que m, también es cota inferior de f. En consecuencia, si una función está acotada inferiormente siempre tendrá un conjunto de cotas inferiores.Funciones acotadas:

Una función se dice que está acotada si lo está inferior y superiormente.

Por estar acotada superiormente, existirá un número real M que es mayor o igual que todas las imágenes de la función y por estar acotada inferiormente, existirá otro número real m que es menor o igual que todas las imágenes de la función. En consecuencia,

lo cual significa que todas las imágenesde nuestra función estarían comprendidas entre m y M y, por tanto, geométricamente, la gráfica de la función f estaría en la banda comprendida entre las rectas y = m e y = M.


Ejemplo: La función es una función acotada ya que está acotada superiormente por e inferiormente por .

Una definición equivalente de función acotada sería la siguiente:



Podríamos demostrar que lasuma y el producto de funciones acotadas es otra función acotada y, en consecuencia, el conjunto de funciones acotadas tendría la misma estructura que el conjunto de funciones reales de variable real.











Funciones acotadas en un punto:

Sea f una función definida de D en y sea a un punto perteneciente a D ( ).
• Se dice que f está acotada superiormente en el puntosi existe un entorno en el cual la función está acotada superiormente.
• Se dice que f está acotada inferiormente en el punto si existe un entorno en el cual la función está acotada inferiormente.
• Se dice que f está acotada en el punto si está acotada superior e inferiormente en el punto

Resulta evidente que si una función f está acotada en su dominio D estará acotada en cada uno delos puntos de D, pero el recíproco no tiene por qué verificarse: una función puede estar acotada en cada uno de los puntos de su dominio y, sin embargo, no estar acotada en su dominio. Es lo que le ocurre, por ejemplo, a la función cuadrática : está acotada en todos sus puntos y no está acotada en su dominio.

Extremo superior. Máximo absoluto.

Se llama extremo superior de una función f ala menor de las cotas superiores de dicha función. Se representa por
Si este valor lo alcanza la función en algún punto de su dominio, recibe el nombre de máximo absoluto.
Por tanto, se dice que una función f tiene un máximo absoluto o global en un punto si se verifica que

Extremo inferior. Mínimo absoluto.

Se llama extremo inferior de una función f a la mayor de las cotasinferiores de dicha función. Se representa por
Si este valor lo alcanza la función en algún punto de su dominio, recibe el nombre de mínimo absoluto.
Por tanto, se dice que una función f tiene un mínimo absoluto o global en un punto si se verifica que







Ejemplos:

 La función está acotada inferiormente por el cero y cualquier valor negativo. La mayor de las cotas...