Biologia

Universidad de Playa Ancha
Facultad de Ciencias Naturales y Exactas.

Pedagog a en Biologa
Matematicas

Profesor Hector Lorca Soto

Unidad 1: "Numeros Naturales"
Induccion Matematica
De nicion:
Diremos que un conjunto M ⊂ R es un conjunto inductivo si y solo si cumple
(1) 1 ∈ M
(2) Si x ∈ M , entonces x + 1 ∈ M
Observacion
Diremos x + 1 corresponde al sucesor de x.
De nicion:
Sea I = {M ⊂ R : Mes un conjunto inductivo}.
De nicion:
El conjunto de los numeros naturales se de ne como
N :=

M,

M ∈I

De nicion:
Postulado de Dedekind Peano:
(1) N es no vacio,
(2) Existe una unica funcion que es inyectiva s : N → N tal que s(n) := n + 1 donde
s(n) recibe el nombre de sucesor o siguiente de n,

(3) Se cunple que s(N)

N,

(4) Principio de Induccion
Dado A ⊂ N ta que cumple
– A ∩ N \ s(N) = ∅,– s(A) ⊂ A
entonces A = N
El postulado de Dedekind Peano nos entrega el origen del Principio de Induccion Completa
que puede ser expresada como sigue:
Sea E una proposicion con variable n, entonces
(1) E0 es verdadera
(2) Es(n) verdadera cuando En lo es, implica que ∀n ∈ N, En es verdadera.

Ejercicios
Demuestre por induccion matematica las siguientes propiedades.
(1) 1 + 2 + 3 + · · · + n =

n(n +1)
2

(2) 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2
(3) 2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n(n + 1)
(4) 2 + 5 + 8 + · · · + (3n − 1) =
(5)

1
2

n

<

n(3n + 1)
2

1
n

(6) a + (a + d) + (a + 2d) + · · · + (a + (n − 1)d) =

n[2a + (n − 1)d]
2

(7) 2n < n!
(8) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · n(n + 1) =
(9) 12 + 32 + 52 + · · · + (2n − 1)2 =

n(n + 1)(n + 2)
3

n(2n − 1)(2n + 1)
3
2

(10) 12 + 22 + 32 + · · · + n2 =n(n + 1)(2n + 1)
6

(11) 1 + 2 + 3 + · · · + n =
3

3

3

3

n(n + 1)
2

2

n(n + 1)(6n3 + 9n2 + n − 1)
(12) 1 + 2 + 3 + · · · + n =
30
4

4

4

4

(13) 1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 2n = 2n+1 − 1
3n+1 − 1
(14) 1 + 3 + 9 + 27 + · · · + 3 =
2
n

(15) 1 +

1 1
1
1
+ + ··· + n = 2 − n
2 4
2
2

(16) (1 + 2 + · · · + n)2 = 13 + 23 + 33 + · · · + n3
(17) n3 − n es divisible por 6
(18) n(n2 + 5) es divisiblepor 6
(19) 6n+1 + 4 es divisible por 5
(20) 52n + (−1)n+1 es divisible por 13
(21) n2 + n es par
(22) n(n2 − 1) es divisible por 3
n

k · 2k−1 = 1 + (n − 1)2n

(23)
k=1

Sucesiones en N y Progresiones
De nicion
Una sucesion es una serie ordenada de numeros, que en ocasiones se puede calcular mediante el lugar que ocupan mediante la formula del termino general, por ejemplo:
Cual sera el terminogeneral de las siguientes sucesiones
(1) 1, 4, 9, 16, 25, · · ·
(2) 1, 6, 12, 20, 20, · · ·
(3) 2, 6, 18, 54, 162, · · ·
3

(4) 3, 7, 12, 19, · · ·
(5) La sucesion de los numeros primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, · · ·
En algunas sucesiones los calculos son mas sencillos porque los tarminos cumplen una
determinada caracter stica: estas son las progresiones.
De nicion Una Progresion Aritmetica es unasucesion donde cada termino se obtiene a
partir del anterior sumando una cantidad ja llamada diferencia. Esto es
a1 = a1
an+1 = an + d
Observaciones:

(1) a1 se llama "primer elemento de la P.A."
(2) d = an+1 − an se llama "diferencia de la P.A."
(3) Si d > 0 la P.A. es creciente
(4) Si d < 0 la P.A. es decreciente
Ejemplos:
• La sucesion de los numeros naturales es una P.A. con primer elemento a1 = 1 ydiferencia d = 1
• La sucesion formada por los terminos 7, 5, 3, 1, −1, −3, −5 es una P.A. con primer
elemento a1 = 7 y diferencia d = −2
Teorema: Si (an )n∈N es una P.A. con primer elemento a1 y diferencia d, entonces
(1) an = a1 + (n − 1)d,
(2) Sn =

n
i=1

ai =

n∈N

n
[2a1 + (n − 1)d]
2

Demostracion (1):

4

• Sea A = {n ∈ N, an = a1 + (n − 1)d}
• 1 ∈ A, puesto que a1 = a1 + (1 − 1)d
•Asumimos verdadero que an = a1 + (n − 1)d
• Por demostrar que an+1 = a1 + nd
• Demostracion

an+1 = an + d
= a1 + (n − 1)d + d
= a1 + nd

Demostracion (2)
• Sea A = {n ∈ N, Sn =

n
i=1

ai =

n
[2a1 + (n − 1)d]}
2

1
✘
✘
(1✘−✘1)d]
• 1 ∈ A, puesto que a1 = [2✁ a1 + ✘
2✁
n
[2a1 + (n − 1)d]
2
n+1
n+1
[2a1 + nd]
i=1 ai =
2

• Asumimos verdadero que Sn =
• Por demostrar que Sn+1 =

n
i=1

ai =

•...