Biología

Matrices. Resoluci´n de sistemas de ecuaciones lineales.
o
Est´ dividido en los apartados siguientes:
a
• Definici´n y operaciones con matrices.
o
• Determinantes: Definici´n. Propiedades. Matriz inversa.
o
• Resoluci´n de sistemas de ecuaciones: M´todo de reducci´n. Teorema
o
e
o
de Rouch´-Frobenius. Regla de Cramer.
e

1

Matrices.
Empecemos con algunas definiciones b´sicas.
aLlamamos matriz de orden (m, n) a una tabla de n´ meros (o
u
funciones) de m-filas y n-columnas. En general, se denota por


a
a12 a13 · · · a1n
 11



 a21 a22 a23 · · · a2n 

A= .
.
.
. 
 .
.
.
. 
 .
.
.
···
.


am1 am2 am3 · · · amn
Matriz fila es una matriz de orden (1, n),
(a11 , a12 , · · · , a1n ).

2

Matriz columna es una matriz de orden(m, 1)


a
 11 


 a21 


 . .
 . 
.


am1
Matriz nula es aquella en que todos sus

0 0 ···

 . .
 . . ···
. .

0 0 ···

3

elementos son 0,

0

. 
. 
.

0

Matriz cuadrada es aquella matriz que tiene el mismo n´mero de filas
u
que de columnas.
Diagonal principal de una matriz cuadrada es el conjunto de los
elementos de la formaa11 , ..., ann .
Matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que sus unicos elementos
´
no nulos son los de la diagonal principal.
Matriz identidad es una matriz diagonal donde todos los elementos de
la diagonal principal son 1, se suele denotar por I,


1 0 ··· 0




 0 1 ··· 0 

I= . .
. 
 . .
 . . ··· . 
.


0 0 ··· 1

4

Matriz triangular es una matrizcuadrada en la que todos los elementos
que est´n por encima (o por debajo) de la diagonal principal son nulos.
a
Por ejemplo,













a11 a12 a13 · · ·

a1n

a22 a23 · · ·

a2n

a33 · · ·
.
. ···
.

a3n
.
.
.

···

ann

0
0
.
.
.

0
.
.
.

0

0

0

5












La matriz traspuesta At de una matriz Aes la que
cambiando filas por columnas, es decir,



a11
a11 a12 a13 · · · a1n






 a21 a22 a23 · · · a2n  t  a12


A= .
.
.
.  A = .
 .
.
.
. 
 .
 .
.
.
.
···
.



a1n
am1 am2 am3 · · · amn

se obtiene de A


a21

a31

···

am1

a22
.
.
.

a32
.
.
.

···
···

am2
.
.
.

a2n a3n · · ·

amn

Matrizsim´trica es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.
e
Esto es, para todo i, j se tiene aij = aji .
Una submatriz B de una matriz A, es una matriz que se obtiene de A
quit´ndole algunas filas y/o columnas.
a

6









Operaciones con matrices
• Suma de dos

a
 11

 a21

 .
 .
.

am1

matrices de orden (m, n),
 
a12 · · · a1n
b
b12
  11 
a22 · · · a2n   b21 b22
 
.
. + .
.
.
.   .
.
.
···
.
.
.
 
am2 · · · amn
bm1 bm2


a11 + b11

a12 + b12

···



a22 + b22 · · ·
 a21 + b21

=
.
.
.
.

.
.
···

am1 + bm1 am2 + bm2 · · ·



···

b1n

···
···

b2n
.
.
.

···

bmn




=





a1n + b1n
a2n + b2n
.
.
.









amn+ bmn

S´lo se pueden sumar matrices de igual orden
o

7

• Una matriz A de orden (m, n) se puede multiplicar por un n´mero
u
real k y el resultado es otra matriz del mismo orden.

a
a12 a13
 11

 a21 a22 a23
k .
.
.
 .
.
.
 .
.
.

am1 am2 am3



···

a1n

···
···

a2n
.
.
.

···

amn



ka11 ka12 ka13
 
 
  ka21 ka22 ka23
=.
.
  .
.
.
.
  .
.
.
 
kam1 kam2 kam3

8



···

ka1n

···
···

ka2n
.
.
.

···

kamn









• Una matriz A de orden (m, n) y otra matriz B de orden (n, p) se
pueden multiplicar.
El producto es una matriz C de orden (m, p) cuyos elementos se
obtienen mediante la f´rmula
o
cij =

n
∑

aik bkj .

k=1

Ejemplo.- Multiplica las...