biossia

UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
PROGRAMA DE ECONOMIA
CALCULO MULTIVARIADO
Mag. Erwin Maury Mancilla
UNIDAD 3: PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS
1. Sea P una función de producción dada por P = f(l ,k) = 0.54l2 – 0.02l3 + 1.89k2 – 0.09k3, donde l y k son las cantidades de trabajo y capital, respectivamente, y P es la cantidad producida. Encontrar los valoresde l y k que maximizan P
2. Una empresa produce dos tipos de dulces A y B, para los cuales los costos promedio de producción son, respectivamente, constantes de $2 y $3 por libra. Las cantidades qA y qB (en libras) de A y B que pueden venderse cada semana están dadas por las funciones de demanda conjunta qA = 400(pB – pA) y qB = 400(9 + pA – 2pB), donde pA y pB son los precios de venta (endólares por libra) de A y B respectivamente. Determinar los precios de ventas que maximizan las utilidades P de la compañía.
3. Suponga que P = f(l ,k) = 1.08l2 – 0.03l3 + 1.68k2 – 0.08k3 es una función de producción para una empresa. Encuentre las cantidades de l y k que maximicen la producción P.
4. En cierto proceso manufacturero automatizado, las máquinas M y N se utilizan m y n horas,respectivamente. Si la producción diaria Q es una función de m y n, dada por Q = 4.5m + 5n – 0.5m2 – n2 – 0.25mn, encuentre los valores de m y n que maximizan a Q.
5. Un monopolista vende dos productos competitivos A y B, para los cuales las funciones de demanda son
qA = 1 – 2pA + 4pB y qB = 11 + 2pA – 6pB.
Si el costo promedio constante de producir una unidad de A es 4 y para una unidad de B es 1,¿cuántas unidades de A y B tienen que venderse para maximizar la utilidad monopolista?
6. Para los productos A y B de un monopolista, la función de costos conjuntos es
C = (qA + qB)2 y las funciones de demanda son qA = 26 – pA y qB = 10 – 0.25pB. Encuentre los valores de PA y pB que maximizan la utilidad. ¿Cuáles son las cantidades de A y B que corresponden a esos precios? ¿Cuál es la cantidadutilidad total?
OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIÓN DE IGUALDAD
Supóngase que una empresa ha recibido un pedido por 200 unidades de su producto y desea distribuir su fabricación entre dos de sus plantas, planta 1 y planta 2. Sean q1 y q2 las producciones de las plantas 1 y 2, respectivamente, y supóngase que la función de costo total está dada por:

¿Cómo debe distribuirse la producción para minimizarlos costos?

Solución: min sujeta a q1 + q2 = 200
Paso 1: Ը (q1, q2) = – (q1 + q2 – 200)
Paso 2: Ը q1(q1, q2) = 4q1 + q2 –  = 0
Ը q2(q1, q2) = q1 + 2q2 –  = 0
Paso 3: 4q1 + q2 –  = 0
q1 + 2q2 –  = 0
q1 + q2 – 200 = 0
Paso 4: Resolviendo las ecuaciones nos queda que:
q1 = 50, q2 = 150
Así que la planta 1 debe producir 50 unidades y 150 la planta 2, para minimizar loscostos.

PROBLEMAS

1. Para surtir una orden de100 unidades de su producto, una empresa desea distribuir la producción entre sus dos plantas, planta 1 y planta 2. La función de costo total está dada por

Donde q1 y q2 son los números de unidades producidas en las plantas 1 y 2, respectivamente. ¿Cómo debe distribuirse la producción para minimizar los costos? (Suponga que el punto críticoobtenido corresponde al costo mínimo)

2. La función de producción de una empresa es
P(l. k) = 12l +20k – l2 – 2k2.
El costo de l y k para la compañía es de 4 y 8 por unidades, respectivamente. Si la empresa quiere el costo total de insumos sea 88, encuentre la producción máxima posible sujeta a este control de presupuesto. (Suponga que el punto crítico obtenido corresponde a una producciónmáxima)

3. Una compañía de cómputo tiene un presupuesto mensual para publicidad de $60,000. Su departamento de mercadotecnia estima que si se gastan x dólares cada mes en publicidad en periódicos, y y dólares cada mes en publicidad por televisión, entonces las ventas mensuales estarán dadas por dólares. Si la utilidad es el 10% de las ventas, menos el costo de la publicidad, determine cómo...