biostaduistica

2. Medidas descriptivas

2.1 Introducción
Los fenómenos biológicos no suelen ser constantes, por lo que será necesario que junto a una medida que indique el valor alrededor del cual se agrupan los datos, se asocie una medida que haga referencia a la variabilidad que refleje dicha fluctuación.
En este sentido pueden examinarse varias características, siendo las más comunes:

Latendencia central de los datos;

La dispersión o variación con respecto a este centro;

Los datos que ocupan ciertas posiciones.

La simetría de los datos.

La forma en la que los datos se agrupan.

  
Figura: Medidas representativas de un conjunto de datos estadísticos


A lo largo de este capítulo, y siguiendo este orden, iremos estudiando los estadísticos que nos van a orientarsobre cada uno de estos niveles de información: valores alrededor de los cuales se agrupa la muestra, la mayor o menor fluctuación alrededor de esos valores, nos interesaremos en ciertos valores que marcan posiciones características de una distribución de frecuencias así como su simetría y su forma.
2.3 Estadísticos de tendencia central
Las tres medidas más usuales de tendencia central son:la media,

la mediana,

la moda.
En ciertas ocasiones estos tres estadísticos suelen coincidir, aunque generalmente no es así. Cada uno de ellos presenta ventajas e inconvenientes.
2.3.2 La media
La media aritmética de una variable estadística es la suma de todos sus posibles valores, ponderada por las frecuencias de los mismos. Es decir, si la tabla de valores de una variable X esX
ni
fi
x1
n1
f1
...
...
...
xk
nk
fk
la media es el valor que podemos escribir de las siguientes formas equivalentes:



Si los datos no están ordenados en una tabla, entonces


2.3.2.1 Observación
Hemos supuesto implícitamente en la definición de media que tratábamos con una variable X discreta. Si la variable es continua tendremos que cambiar los valores de xi por lasmarcas de clase correspondientes. En general, la media aritmética obtenida a partir de las marcas de clase ci, diferirá de la media obtenida con los valores reales, xi. Es decir, habrá una perdida de precisión que será tanto mayor cuanto mayor sea la diferencia entre los valores reales y las marcas de clase, o sea, cuanto mayores sean las longitudes ai, de los intervalos.
  
2.3.2.2 ProposiciónLa suma de las diferencias de la variable con respecto a la media es nula, es decir,




Demostración
Basta desarrollar el sumatorio para obtener



Este resultado nos indica que el error cometido al aproximar un valor cualquiera de la variable, por ejemplo x1, mediante el valor central , es compensado por los demás errores:




Si los errores se consideran con signopositivo, en este caso no pueden compensarse. Esto ocurre si tomamos como medida de error alguna de las siguientes:












que son cantidades estrictamente positivas si algún .
2.3.2.3 Ejemplo
Obtener las desviaciones con respecto a la media en la siguiente distribución y comprobar que su suma es cero.
li-1 - li
ni
0 - 10
1
10 - 20
2
20 - 30
4
30 - 40
3
Solución:li-1 - li
ni
xi
xi ni


0 - 10
1
5
5
-19
-19
10 - 20
2
15
30
-9
-18
20 - 30
4
25
100
+1
+4
30 - 40
3
35
105
+11
+33
 
n=10
 

 

La media aritmética es:




Como se puede comprobar sumando los elementos de la última columna,



     
2.3.2.4 Proposición (König)
Para cualquier posible valor kque consideremos como candidato a medida central, lo mejoraen el sentido de los mínimos cuadrados, es decir




Demostración
Sea . Veamos que el error cuadrático cometido por kes mayor que el de .



   
2.3.2.5 Proposición (Linealidad de la media)




    
2.3.2.6 Proposición
Dados r grupos con n1, n2, ..., nrobservaciones y siendo , , ..., las respectivas medias de cada uno de ellos. Entonces la media de las observaciones es...