Biotecnologia

EL MÉTODO DE
DIFERENCIAS FINITAS
POR
GUILLERMO HERNÁNDEZ
GARCÍA

1. El Método de Diferencias Finitas
• El Método consiste en una aproximación de las derivadas
parciales por expresionesalgebraicas con los valores de la
variable dependiente en un limitado número de puntos
seleccionados.
• Como resultado de la aproximación, la ecuación
diferencial parcial que describe el problema esreemplazada por un número finito de ecuaciones
algebraicas, en términos de los valores de la variable
dependiente en puntos seleccionados.
• El valor de los puntos seleccionados se convierten en lasincógnitas. El sistema de ecuaciones algebraicas debe ser
resuelto y puede llevar un número largo de operaciones
aritméticas.

1.1. Flujo Estable
• Para mostrar este método vamos a considerarel caso de
flujo bi-dimensional de un fluido en un acuífero
homogéneo, isotrópico confinado, sin fuentes o sumideros.
Para este, el flujo es descrito por la ecuación de Laplace:
 2h  2h
(1.1.1) 2 0
2
x
y
• Esta ecuación debe ser satisfecha en todos los puntos del
dominio R del acuífero considerado. En la frontera de R el
nivel del agua, h, debe satisfacer ciertas condiciones defrontera. Vamos a asumir que las condiciones de frontera
son: (1.1.2)
enS1 h  f
(1.1.3)

en S 2

h
Qn  T
0
n

1.1. Flujo Estable
• Una retícula de cuadrados es trazada sobre laregión R
(figura 1.1). El valor de la variable h en un punto nodal de
la retícula, o nodo, es expresada como hi,j, donde i indica la
posición de una línea vertical de la retícula (la columna), y
jla línea horizontal de la retícula (el renglón).

1.1. Flujo Estable
• En general, la aproximación de la primera derivada
con respecto a x de una función F(x,y), es dada por:
• (1.1.4)
F F x x, y   F x, y 
x



x

• esta se dice que es la aproximación de diferencia
finita hacia adelante de la derivada parcial.
• La diferencia finita hacia atrás es obtenida de la
forma...