Bird

Mec´
anica de Fluidos - 2009
Ejercicios resueltos
1. El campo de velocidades de un fluido est´a dado por:
v = (a, b sin(ωt), 0)
donde a y b son constantes. Calcule y grafique:
a) La l´ınea decorriente que pasa por el origen, a t = 0, t =

π
2ω ,

t=

π
ω

yt=

3π
2ω .

b) La trayectoria de la part´ıcula, que -a tiempo t = 0- estaba en el origen de coordenadas.
c) La l´ıneade humo de todas las part´ıculas que pasaron por el origen de coordenadas, a t = 0,
π
3π
t = 2ω
, t = ωπ y t = 2ω
.
Respuesta:
a) L´ıneas de corriente:
El campo de velocidades es uniforme(independiente de la posici´on), en otras palabras todos los
vectores velocidad son paralelos, las l´ıneas tangentes a un campo uniforme ser´an entonces rectas
π
paralelas entre s´ı. A t = 0, v = (a,0, 0) y la l´ınea que pasa por el origen ser´a el eje x. A t = 2ω
,
b
π
3π
v(a, b, 0), la l´ınea que pasa por el origen es: y = a x. A t = ω es nuevamente el eje x, y a t = 2ω
ser´a la recta y =− ab x.
b) Podemos calcular la funci´
on de historia cinem´atica integrando la ecuaci´on diferencial:
∂ Φ(x, t)
= v(Φ, t)
∂t
Particularizando para nuestro campo vectorial (uniforme, dependiente det):
∂ Φ(x, t)
= (a, b sin(ωt), 0)
∂t
En componentes:
∂Φx
∂t
∂Φy
∂t
∂Φz
∂t

= a
= b sin(ωt)
= 0

Integrando, teniendo en cuenta la condici´on inicial: Φ(x, 0) = x, se obtiene:
Φx = x+ at
b
Φy = y + [1 − cos(ωt)]
ω
Φz = z
Para la part´ıcula que nos interesa: (x, y, z) = (0, 0, 0), su trayectoria se obtiene con la f´ormula:
p(t) = Φ((0, 0, 0), t) = ((at,

b
[1 − cos(ωt)],0)
ω

c) L´ıneas de humo.
Como primer paso debemos identificar las part´ıculas que, en alg´
un momento pasaron por el origen:
evaluando la funci´
on de historia cinem´atica en un instante quellamaremos τ , el resultado es el
punto (0, 0, 0):
Φ(p, τ ) = (0, 0, 0)
Reeplazando la expresi´
on obtenida arriba:
px + aτ
py +

= 0

b
[1 − cos(ωτ )] = 0
ω
pz = 0

despejando:
px...