biseccion

El método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo:
Teorema del Valor Intermedio
Sea    continúa en un intervalo   y supongamos que  . Entonces para cada   tal que  , existe  un  tal que  . La misma conclusión se obtiene para el caso que  .

Básicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda función contínua en un intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertosvalores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios.

En particular, si    y   tienen signos opuestos, entonces un valor intermedio es precisamente ,  y  por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio nos asegura que debe existir   tal que , es decir, debe haber por lo menos una raíz de   en el intervalo .
El método de bisección sigue los siguientes pasos:Sea   contínua,
i) Encontrar valores iniciales  ,    tales que    y    tienen signos opuestos, es decir,
 

ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre    y  :
 

iii) Evaluar  . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:
 

En este caso,  tenemos que    y    tienen signos opuestos, y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo  .
 

Eneste caso,  tenemos que    y    tienen el mismo signo, y de aquí que    y   tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo  .
 

En este caso se tiene que   y por lo tanto ya localizamos la raíz.
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:
 

es decir,
 

Ejemplo 1
Aproximar la raíz de    hasta que  .
Solución
  Sabemos por lo visto enel ejemplo 1 de la sección anterior, que la única raíz de    se localiza en el intervalo  .  Así que este intervalo es nuestro punto de partida; sin embargo, para poder aplicar el método de bisección debemos checar que    y    tengan signos opuestos. 
En efecto, tenemos que
 

mientras que
 

Cabe mencionar que la función    sí  es contínua en el intervalo  . Así  pues, tenemos todos losrequisitos satisfechos para poder aplicar el método de bisección. Comenzamos:
i)   Calculamos el punto medio (que es de hecho nuestra primera aproximación a la raíz):
 

ii)   Evaluamos  
iii)   Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raíz, hacemos la siguiente tabla:

Por lo tanto, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo  .  
En este punto, vemos que todavía nopodemos calcular ningún error aproximado, puesto que solamente tenemos la primera aproximación. Así, repetimos el proceso con el nuevo intervalo  .
Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximación a la raíz):
 

Aquí podemos calcular el primer error aproximado, puesto que contamos ya con la aproximación actual y la aproximación previa:
 

Puesto que no se ha logrado elobjetivo, continuamos con el proceso.
Evaluamos  , y hacemos la tabla:

Así, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo  . 
Calculamos el punto medio,
 

Y calculamos el nuevo error aproximado:
 

El proceso debe seguirse hasta cumplir el objetivo.
Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz
Error aprox.
1.25
 
1.375
9.09%
1.3125
4.76%
1.281252.43%
1.296875
1.20%
1.3046875
0.59%

Así, obtenemos como aproximación a la raíz

Ejemplo 2
Aproximar la raíz de   hasta que  .
Solución
 Como vimos en el ejemplo 2  de la sección anterior, la única raíz de   se localiza en el intervalo  . Para poder aplicar el método de bisección, es importante checar que sí se cumplen las hipótesis requeridas.
Sabemos que   es contínua en elintervalo , y checamos que   y   tengan signos opuestos.
En efecto,
 

Mientras que,
 

Por lo tanto, sí podemos aplicar el método de bisección.
Calculamos el punto medio del intervalo ,
 

Que es la primera aproximación a la raíz de .
Evaluamos  . 
Y hacemos nuestra tabla de signos,

Puesto que  y    tienen signos opuestos, entonces la raíz se localiza en el intervalo  . 
En este...