Biseccion

MÉTODO DE LA BISECCIÓN
El método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo: 
Teorema del Valor Intermedio
Sea contínua en un intervalo y supongamos que . Entonces para cadatal que , existe un tal que . La misma conclusión se obtiene para el caso que . 
Básicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda función contínua en un intervalo cerrado, una vezque alcanzó ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios.
En particular, si y tienen signos opuestos, entonces un valor intermedio esprecisamente , y por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio nos asegura que debe existir tal que , es decir, debe haber por lo menos una raíz de en el intervalo .
El método de bisección sigue lossiguientes pasos:
Sea contínua,
i) i) Encontrar valores iniciales , tales que y tienen signos opuestos, es decir,
 

ii) ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual al puntomedio entre y :
 

iii) iii) Evaluar . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:


En este caso, tenemos que y tienen signos opuestos, y por lo tanto la raíz seencuentra en el intervalo .


En este caso, tenemos que y tienen el mismo signo, y de aquí que y tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo .


En estecaso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raíz. 
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:
 

es decir,
 

Ejemplo 1
Aproximar la raíz de hasta que . Solución
Sabemos por lo visto en el ejemplo 1 de la sección anterior, que la única raíz de se localiza en el intervalo . Así que este intervalo es nuestro punto de partida; sin embargo, parapoder aplicar el método de bisección debemos checar que y tengan signos opuestos.
En efecto, tenemos que
 

mientras que
 

Cabe mencionar que la función sí es contínua en el intervalo...