bisectriz

Bisectriz

Construcción gráfica con regla y compás.
La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntosdel plano que equidistan (están a la misma distancia) de las semirrectas de un ángulo.

Índice [ocultar]
1 Propiedades
2 Aplicación en triángulos
3 Propiedades en un triángulo inscrito
4Véase también
5 Enlaces externos
Propiedades[editar]
Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los 2 lados del ángulo

Dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulos y sus bisectrices secortan conformando ángulos rectos entre ellas.

Bisectriz interior-exterior.png
En la figura, la bisectriz del ángulo xOy (en amarillo) es (zz'), y la del ángulo x'Oy es (ww'). Se cortan formando unángulo recto. En efecto, si llamamos a la amplitud de xOz, y b la de yOw, observamos que 2a + 2b es la amplitud del ángulo xOx' = 180º, es un ángulo plano. Luego zOw mide a + b = 90º.

Aplicación entriángulos[editar]
Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro dela circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.

Bisectrices.png
Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser paralelas.Sea O la intersección de las bisectrices D y D' (ver figura). Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (A,B) y (A,C). Como O pertenece a D', entonces también equidista de las rectas (AB) y(BC). Por transitividad de la igualdad, es equidistante de (A,C) y (B,C), y pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a D". Al ser equidistante a los tres lados. Se sigue que lacircunferencia cuyo radio sea justamente la distancia común del punto O a los lados del triángulo es tangente a cada uno de los lados.

Propiedades en un triángulo inscrito[editar]
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