bisnnes

CONTENIDO:
Introducción.
Principios básicos.
Función factorial.
Muestras, Variaciones.
Permutaciones.
Combinaciones.
Notación de sumatoria y productoria.
Triángulos de Pascal, binomio de Newton.
Inducción matemática.

Análisis Combinatorio
El arte de contar
“La combinatoria trata,
ante todo, de contar el
número de maneras en
que unos objetos dados
pueden organizarse de
unadeterminada forma.”
Introducción a la combinatoria
Ian Anderson

PRINCIPIOS BÁSICOS

Principio de la suma
Una actividad puede realizarse de distintas maneras que son mutuamente

excluyentes, es decir, que no pueden ocurrir al mismo tiempo. Si de una
manera se puede hacer de n formas y de otra, de m formas, entonces hay
m+n maneras distintas de realizar la actividad.

k formas

Hay k+ m + n posibilidades
de ir desde A hasta B, de tres
maneras distintas

A

m formas

n formas

B

Se aplica en procesos de
conteo susceptibles de
ser divididos en casos

Principio de la multiplicación
Si una actividad puede realizarse en dos pasos sucesivos (debe ocurrir
uno y después el otro) de manera tal que el paso 1 se realiza de
maneras y el paso 2 de
realizarse de

Am*n

m

maneras, entonces la actividad puede

maneras distintas.

m
formas

n

n
formas

Hay m * n posibilidades de ir
desde A hasta B

B

Ejemplo de Aplicación Conjunta:
¿De cuántas maneras distintas se puede ir de A hasta B?
Primer caso: Sin
pasar por C

A

C

B

Hay 3 caminos distintos
para ir desde A hasta B sin
pasar por C

Segundo caso:
Pasando por CHay 12 + 3 = 15 caminos distintos
para ir desde A hasta B

A

Hay 4*3 = 12 caminos
distintos para ir desde A
hasta B, pasando por C

C

B

Aplicaciones del Principio de
multiplicación

Principio multiplicativo
a1

b1
c1

(ilustración gráfica)
a2

b2

b3

c2 c1

c2

c 1 c2

b1
c1

b3

b2
c2 c 1 c2

c
1

c2

El primer elemento puede escogerse dedos
formas distintas: a1 y a2.
El segundo de tres maneras distintas: b1, b2 y b3.
El tercer elemento puede escogerse en dos modos
distintos: c1 y c2.
El total de posibilidades será: 2 * 3 * 2 = 12

Aplicación en la música
Si una elección tiene m alternativas posibles y
otra n, entonces la realización de ambas tiene
m x n.
Mozart compuso un vals con 11
posibilidades distintas para 14 delos
16 compases y 2 posibilidades para
cada uno
de los restantes. ¿Se habrán llegado
a escuchar alguna vez todas las
realizaciones posibles?
14

11   2 2 11
11
 11  


2

2

14

1.518.999. 334.332.96 4 1,5 10

15

•

¿De cuántas formas se pueden escoger dos
fichas de dominó de las 28 que hay, teniendo
en cuenta el orden, y de forma que se puedan
aplicar una ala otra (es decir, de modo que se
encuentre el mismo número de tantos en
ambas fichas)?

Escojamos la primera ficha. Esto se puede

hacer de 28 maneras:
En 7 casos la ficha elegida será un “doble”, es
decir, tendrá la forma 00, 11, 22, 33, 44, 55,
66.
Y en 21 casos será una ficha con distinto
número de tantos. Por ejemplo 05, 13, 46,
etc.
En el primer caso (ficha doble), la segundaficha se puede elegir de 6 maneras. Por
ejemplo, si en el

primer paso fue elegida la ficha 11.
En el segundo se puede tomar una de las
fichas 10, 12, 13, 14, 15 o 16.

En el segundo caso, la segunda ficha se
puede escoger de 12 maneras. Por ejemplo
para la ficha 35 servirán las 03, 13, 23, 33,
43, 63, 50, 51, 52, 54, 55, 56.
Según la regla del producto, en el primer
caso obtenemos 7x 6 = 42 elecciones,
y en el segundo, 21 x 12 = 252.
Así que en total tendremos 42 + 252 = 294
formas.

FACTORIAL! DE UN NÚMERO
Sea n, un número entero positivo, el
factorial del número natural n (n!), es el
producto de los números naturales de 1 a
n, esto es,
n!=1 2 3 … n
y que por convenio
0!=1

PROPIEDADES
Las propiedades de los
números factoriales son las
siguientes:

Si...