bjñi

REPRESENTACION GRAFICA. Problemas de selectividad


Calcular puntos notables e intervalos de monotonía y curvatura de
1
y = ------- Dibujar gráfica
e x

D= R

1 1
y = ------ = e - x ; y ' = - e - x = - ---- y' (x)= 0 ; -1 ≠ 0 NO EXISTE Max,Min
e x e x

1
y'' = e - x = ---- ; y''(x) = 0 ; 1 ≠ 0 NO EXISTE P.I
e x
Monotonía:

y' < 0  x ya que y'= - ( 1 / e x ) < 0  xR Decreciente

Curvatura:

y'' > 0  x ya que y'' = +( 1 / e x ) > 0  xR Convexo

Corte eje OY :

1
x = 0 ; y = ----- = 1 ( 0 , 1)
e o
1 1 1
A. H; y = lim ---- = ----- = ---- = 0 ; y = 0
x-> e x e  
1 1
y = lim---- = ------ = e =  NO EXISTE
x-> - e x e- 


Dada la función f(x) = 
a) Hallar sus máximos y mínimos locales y/o globales.
b) Determinar el valor del parámetro a>o para el cual ∫0a f(x) dx = -1
(Selectividad Prueba 2005-06)

a) D=R



Posibles máximos, mínimos 

Monotonía.
(-∞,-1): X=-2 ;  CrecienteMáx(-1,1)
(-1,1): x=0;  Decreciente
Min(1,-1)
(1,∞) : X=2 ;  Creciente

b)


=

Como 











x
Considérese la curva y = --------- (aR dado)x2 + a
1º) Hallar a de manera que la curva tenga un extremo rela­tivo para x = 3. 2º) Para a = 4 , hallar los puntos de inflexión, los ex­tremos y las regiones de concavidad y convexidad de la curva.
3º) Representar aproximadamente la curva para a = 4.


1º) Calculemos la y'(x)

x2 + a - x.2x - x2 + a
y' = --------------- = ---------- Hagamosy'(3) = 0
(x2 + a)2 (x2 + a)2

- 32 + a - 3 + a
------------ = 0 ==> -------- = 0 ==> - 3 + a = 0 ==> a = 3
(32 + a)2 (3 + a)2

x x2 + 4 - x.2x - x2 + 4
2º) y = -------- y' = ---------------- = ----------- = 0
x2 + 4 (x2 + 4)2(x2 + 4)2

x2 = 4 x = ± 2 son los posibles extremos de la función.

Para ver si lo son, calculemos la y''(x) y particularicemos para dichos valores
± 2

-2x.(x2 + 4)2 - (-x2 + 4).2.(x2 + 4).2x
y'' = -------------------------------------------- =
(x2 + 4)4

- 2x3 - 2x + 4x3 - 16x2x3 - 18x
= -------------------------- = -------------
(x2 + 4)3 (x2 + 4)3

16 - 36 1 - 16 + 36 1
y''(2) = --------- < 0 Máximo ( 2, - ) y''(-2) = ----------- > 0 Mínimo ( -2, - - )
+ 4+ 4

Para calcular los Puntos de inflexión hacemos la y''(x) = 0
x = 0
2x3 - 18x = 0 ==> 2x.(x2 - 9) = 0
x = ± 3

(6x2 - 18).(x2 + 4)3 - (2x3 - 18x).3.(x2 + 4)2.2x
y'''(x) =...