Bjlbhkj

–M
D
ife A
IIre
nc Eq
ia ua
ls c
io
´
`
A MPLIACI O DE M ATEM ATIQUES

E QUACIONS D IFERENCIALS

Problemes

–M
D
ife A
IIre
nc Eq
ia ua
ls c
io
2

–M
D
ife A
IIre
nc Eq
ia ua
ls c
io
´
Index

´
Index

3

1

Generalitats sobre equacions diferencials ordin` ries
a

5

2

Equacions de primer ordre

9

3

Problemes d’aplicaci´
o

15

4Equacions lineals d’ordre n

19

5

Transformada de Laplace

25

6

Elements b` sics sobre Equacions en Derivades Parcials
a

31

7

Solucions dels problemes

35

7.1 Generalitats sobre equacions diferencials ordin` ries . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
a

7.2 Equacions de primer ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.3Problemes d’aplicaci´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
o
7.4 Equacions lineals d’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

´
Index

7.5 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

–M
D
ife A
IIre
nc Eq
ia ua
ls c
io

4

7.6 Elements b` sics sobreEquacions en Derivades Parcials . . . . . . . . . . . . . . 45
a

5

–M
D
ife A
IIre
nc Eq
ia ua
ls c
io

´
`
A MPLIACI O DE M ATEM ATIQUES . E QUACIONS D IFERENCIALS

1

Generalitats sobre equacions diferencials
ordin` ries
a

Equacions diferencials. Solucions

1. Comproveu que les funcions donades s´ n solucions de les equacions diferencials correspoo
nents:
(a) y = exsin x, soluci´ de y − 2y + 2y = 0.
o

(b) y = eα arcsin x , soluci´ de (1 − x2 )y − xy − α2 y = 0.
o
(c) y =

x
1+x

x

, soluci´ de y −
o

y
x
= y ln
.
x+1
x+1

1
(d) y = c1 ex + c2 e3x + , soluci´ de y − 4y + 3y = 1.
o
3

2. Comproveu que les funcions seg¨ ents y = y(x) donades en forma impl´cita s´ n solucions de
u
ı
o
les equacions diferencials corresponents.(a) xy − ln y = 1, soluci´ de y2 + (xy − 1)y = 0.
o
x sin t
(b) x
dt = y ln y, soluci´ de xy + xy ln y = x sin x + y ln y.
o
t
0
y
(c) arctan − ln x2 + y2 = 0, soluci´ de x + y − (x − y)y = 0.
o
x

6

Generalitats sobre equacions diferencials ordin` ries
a

–M
D
ife A
IIre
nc Eq
ia ua
ls c
io

(d) xy = 3(y − 1) + ce−y , soluci´ de y + (xy + x − 3y)y = 0.
o
3.Transformeu l’equacions diferencials seg¨ ents mitjancant els canvis indicats.
u
¸
(a) xy − 2y ln y = −x3 y, canvi z = ln y.

x2 + 2y2
, canvi y = ux.
xy
91
31
(c) y + 2 + y − y2 = 0, canvi y = + .
x
x
xz

(b) y =

4. Apliqueu el canvi de variable x = et a les equacions diferencials seg¨ ents i transformeu-les
u
dy
d 2 y ... d 3 y
en noves edos. Per comoditat, podeu utilitzar la notaci´y = , y = 2 i y = 3 .
o˙
¨
dt
dt
dt
(a) 4x2 y − 3xy − 2y = 0.

(b) −2x3 y + x2 y − 5xy + 2y = 0.

Equacions diferencials i feixos de corbes

5. Determineu l’edo associada a:

(a) La fam´lia de rectes de pendent 1.
ı

(b) El feix de rectes que passen per (0, 1).

6. Calculeu l’edo associada a:

(a) La fam´lia de circumfer` ncies de radi fix i centre arbitrari.
ı
e

(b)Totes les circumfer` ncies del pla.
e

7. Esbrineu l’edo de totes les rectes que es troben a dist` ncia unitat de l’origen de coordenades.
a
2 + y2 = 1 tamb´ satisf` l’equaci´ . Per qu` ?
Proveu que l’equaci´ x
o
e
a
o
e

Traject` ries ortogonals
o

8. Trobeu les traject` ries ortogonals de les fam´lies de corbes seg¨ ents i identifiqueu–les. Feu
o
ı
u
un esb´ s de les seves gr`fiques.
o
a
(a) xy = c.

(b) y = cx2 .

´
`
A MPLIACI O DE M ATEM ATIQUES . E QUACIONS D IFERENCIALS

7

–M
D
ife A
IIre
nc Eq
ia ua
ls c
io

(c) y = cex .
9. Trobeu les traject` ries ortogonals a cadascuna de les fam´lies uniparam` triques de corbes
o
ı
e
seg¨ ents:
u
(a) y2 = x + c.

(b) y = x + ce−x .

10. Indiqueu si s´ n ortogonals o no cadascuna de les...