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FÍSICA 2º BACHILLERATO
INTERACCIÓN GRAVITATORIA

INTERACCIÓN GRAVITATORIA
MODELOS DE UNIVERSO Desde la antigua filosofía hasta el final de la Edad Media, el hombre había concebido dos modelos antagónicos del Universo. La teoría geocéntrica, propuesta por Ptolomeo y defendida por Aristóteles, suponía que la Tierra era el centro del Universo y colocaba en esferas concéntricas a todos los astrosvisibles, girando en perfectos círculos. La teoría heliocéntrica de Aristarco, perfeccionada por el astrónomo polaco Nicolás Copérnico y apoyada por el italiano Galileo Galilei en los albores de la física, a mediados del siglo XVII, señalaba al Sol como centro del sistema solar. Los estudios recopilados por el alemán Kepler que reunió muchos datos astronómicos, fundamentalmente de Tycho Brahe, lepermitieron deducir tres leyes matemáticas acerca del movimiento planetario: 1ª.- Todos los planetas realizan órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el Sol. 2ª.- La recta que une a los planetas y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. 3ª.- El cuadrado del período el movimiento orbital del planeta es directamente proporcional al cubo de su distancia al Sol. Isaac Newton, en su famosaobra “Philosophiae naturalis principia mathematica”, publicada en 1867, se basó en las leyes de Kepler para desarrollar su ley de gravitación universal. EJEMPLO 1. Si el radio de la órbita de un planeta determinado es cuatro veces mayor que el de otro planeta: a) ¿Cuál es la relación que existe entre sus respectivos periodos de rotación respecto al sol? b) ¿Y entre sus velocidades? Solución: a)Según la tercera ley de Kepler: T 2 = k R 3
Llamando T1 y T2 a los periodos y R1 y R2 a los radios orbitales tendremos: T1 2 = k R 1 3
3 T2 2 = k R 2 3 = k (4 R 1 )3 = 64 k R 1 = 64 T1 2 . Por lo tanto, T2 = 8 T1 .

b) Teniendo en cuenta que la velocidad orbital puede hallarse por: v =

cumplirá que: v 1 =

2 π R1 T1

y

v2 =

2 π R 2 2 π 4 R 1 1 2 π R1 1 = = = v1 T2 8T1 2 T1 2

2πR, se T

LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Su enunciado es: “La fuerza con que se atraen dos objetos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa”. Página 1

FÍSICA 2º BACHILLERATO
INTERACCIÓN GRAVITATORIA

r En la figura se dibuja la fuerza F que la masa M realiza sobre la masa m, r situada a una distancia r deM. u es un vector unitario en la dirección de la recta que une ambas masas.

M r

r F M

m
r u

r Mmr F = −G 2 u r

Naturalmente, por la ley de acción y reacción, sobre M actuará una fuerza r igual y contraria a F , que no hemos dibujado para simplificar la figura. G es la constante de gravitación universal, 6,67·10-11 N· m2· kg-2. r r r Para calcular el vector unitario, emplearemos: u= r

EJEMPLO 2. Un planeta que consideraremos esférico tiene un radio de 4000 km y una densidad de 5 g/cm3. ¿Qué fuerza de atracción ejercerá sobre una masa de 3 kg situada en su superficie? Dato: G. Solución: Pasando a unidades SI: R = 4000·103 m ρ = 5000 kg/m3
3

4πR3 4 π (4000 ⋅ 10 3 ) ρ= 5000 = 1,34·1024 kg. La masa del planeta será: M = V ρ = 3 3 Finalmente, la fuerza gravitatoria será:M m 6 ,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 1,34 ⋅ 10 24 ⋅ 3 F=G 2 = N = 16 ,76 N r 4000000 2

EJEMPLO 3. En el punto A (-2, 4) m hay una masa de 3 kg y en el punto B (5, -1) m hay otra de 1,5 kg. Hallar:
a) El vector fuerza con que la primera masa atrae a la segunda y su módulo. b) ¿Qué relación existe respecto a la fuerza con que la segunda masa atrae a la primera? Dato: G.

A r
r F

Solución: a) Para hallarr tenemos en cuenta la distancia entre dos puntos (A y B), o lo que es igual, el módulo del vector que une los puntos A y B:

r = 7 2 + 5 2 = 74 = 8 ,6 m B M m 6 ,67· 10 −11 ⋅ 3 ⋅ 1,5 Así: F = G 2 = N = 4 ,06· 10 −12 N r 74 r r r Y el vector: F = − 4 ,06 10 −12 cos α i + 4 ,06 10 −12 sen α j N · · r r r 7 r 5 r F = − 4 ,06· 10 −12 i + 4 ,06· 10 −12 j N = –3,3·10-12 i + 2,3·10-12 j N 8 ,6 8 ,6...