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ECUACIONES DIFERENCIALES
COEFICIENTES INDETERMINADOS E0100
Utilizando el m´todo de coeficientes indeterminados, calcular una soluci´n particular y escribir la
e
o
soluci´n general de la edo.
o
(1)
y − 4y + 4y = 12x2 − 40x + 42
(2)
y − 4y + 4y = 4(2x − 1)e4x
(3)
y − 4y + 4y = −80 sen 3x − 23 cos 3x
(4)
y − 4y = 12x2 − 40x + 42
(5)
y − 5y + 4y = (12x − 5)e4x
(6)
y − 4y + 4y = 2(9x− 2)e2x
(7)
y + 4y = 16 sen 2x + 12 cos 2x

canek.uam.mx: 21/ 4/ 2003.
1

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COEFICIENTES INDETERMINADOS E0100

Respuestas
Utilizando el m´todo de coeficientes indeterminados, calcular una soluci´n particular y escribir la
e
o
soluci´n general de la edo.
o
(1) y − 4y + 4y = 12x2 − 40x + 42
Primero se obtiene la soluci´n general de la edo. homog´nea asociada (soluci´n complemeno
eo
taria yc(x)):
y − 4y + 4y = 0
µx

Proponiendo y = e

se obtiene

µ2 − 4µ + 4 = (µ − 2)2 = 0
Cuya soluci´n es µ = 2, de multiplicidad 2, entonces
o
yc = c1 e2x + c2 xe2x = (c1 + c2 x)e2x
Segundo, se obtiene una soluci´n particular yp (x) de la no-homog´nea
o
e
y − 4y + 4y = 12x2 − 40x + 42
Aqu´ el t´rmino no homog´neo es un polinomio de grado 2, adem´s, se tiene a y con coefiı
ee
a
ciente 4 = 0.
Se propone como soluci´n particular a
o
yp (x) = Ax2 + Bx + C
Con A, B , C coeficientes a determinarse.
Si
yp = Ax2 + Bx + C ⇒ yp = 2Ax + B ⇒ yp = 2A
Sustituyendo en
yp − 4yp + 4yp = 12x2 − 40x + 42, se obtiene
2A − 4(2Ax + B ) + 4(Ax2 + Bx + C ) = 12x2 − 40x + 42
Asociando respecto a x
(4A)x2 + (−8A + 4B )x + (2A − 4B + 4C ) = 12x2 − 40x + 42
Igualdad que secumple cuando

4A = 12

−8A + 4B = −40

2A − 4B + 4C = 42
Sistema de ecuaciones que tiene por soluci´n a
o
A = 3, B = −4 y C = 5
Entonces, la soluci´n particular es
o
yp (x) = 3x2 − 4x + 5

COEFICIENTES INDETERMINADOS E0100

3

Por lo tanto, la soluci´n general es
o
y = yp (x) + yc(x)
y = 3x − 4x + 5 + (c1 + c2 x)e2x
2

(2) y − 4y + 4y = 4(2x − 1)e4x
Por el ejercicioanterior se sabe que la soluci´n general de la homog´nea asociada, es
o
e
yc = (c1 + c2 x)e2x
Para obtener una soluci´n particular yp (x) de la no-homog´nea
o
e
y − 4y + 4y = 4(2x − 1)e4x = (8x − 4)e4x
Debe considerarse que: el t´rmino no homog´neo es un polinomio de grado uno por e4x y
e
e
o
e
que, adem´s, e4x no es soluci´n de la homog´nea asociada.
a
Se propone como soluci´nparticular a
o
yp (x) = (Ax + B )e4x
Con A, B coeficientes a determinarse.
Si
yp = (Ax + B )e4x ⇒ yp = 4(Ax + B )e4x + Ae4x ⇒ yp = 16(Ax + B )e4x + 8Ae4x
Sustituyendo en
yp − 4yp + 4yp = (8x − 4)e4x , se obtiene
[16(Ax + B ) + 8A]e4x − 4[4(Ax + B ) + A]e4x + 4(Ax + B )e4x = (8x − 4)e4x
Eliminando e4x y asociando respecto a x
(4A)x + (4A + 4B ) = 8x − 4
Igualdad que se cumple cuando
4A = 8
4A +4B = −4
Sistema de ecuaciones que tiene por soluci´n a A = 2 y B = −3
o
Entonces, la soluci´n particular es
o
yp (x) = (2x − 3)e4x
Por lo tanto, la soluci´n general es
o
y = yp (x) + yc(x)
y = (2x − 3)e4x + (c1 + c2 )e2x

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COEFICIENTES INDETERMINADOS E0100

(3) y − 4y + 4y = −80 sen 3x − 23 cos 3x
Por el ejercicio 1 (y anterior) se sabe que la soluci´n general de la homog´neaasociada, es
o
e
yc (x) = (c1 + c2 x)e2x
Para obtener una soluci´n particular yp (x) de la no homog´nea
o
e
y − 4y + 4y = −80 sen 3x − 23 cos 3x
Debe considerarse que: el t´rmino no homog´neo es una combinaci´n lineal de sen 3x y
e
e
o
cos 3x, y que estas funciones no son soluciones de la homog´nea asociada.
e
Se propone como soluci´n particular a
o
yp (x) = A sen 3x + B cos 3x
ConA, B coeficientes a determinarse.
Si
yp = A sen 3x + B cos 3x ⇒ yp = 3A cos 3x − 3B sen 3x ⇒ yp = −9A sen 3x − 9B cos 3x
Sustituyendo en
yp − 4yp + 4yp = −80 sen 3x − 23 cos 3x
Se obtiene
[−9A sen 3x − 9B cos 3x] − 4[3A cos 3x − 3B sen 3x] + 4[A sen 3x + B cos 3x] =
= −80 sen 3x − 23 cos 3x
Asociando t´rminos respecto a sen 3x y cos 3x
e
(−5A + 12B ) sen 3x + (−12A − 5B ) cos 3x =...