Blabla

A. Duarte & S. Cambronero

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Un poco sobre Teor´ de Conjuntos ıa
1 Introducci´n o
Generalmente, en una teor´ matem´tica, los t´rminos que denotan las nociones primarias ıa a e de esa teor´ no se pueden definir. As´ por ejemplo, en geometr´ resulta dif´ dar ıa ı ıa ıcil una definici´n de t´rminos como “punto”, “recta” y “plano”. Usualmente, para estas o e nociones primarias, se dan algunosaxiomas que sirven para “fijar las reglas del juego” en su utilizaci´n. Siguiendo con el ejemplo de la geometr´ recordemos una serie de o ıa, axiomas como: “dos puntos distintos determinan una recta”; “tres puntos no colineales determinan un plano”; “una recta conteniendo dos puntos comunes con un plano est´ a enteramente contenida en ese plano”; etc. En el caso de la teor´ de conjuntos sucede algoıa similar.

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Un poco de terminolog´ ıa

Primeramente, un conjunto es una noci´n primaria que no definiremos. Todos los conjuno tos, salvo desde luego el conjunto vac´ (denotado por ∅), est´n formados por elementos. ıo a Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto, utilizamos el s´ ımbolo de pertenencia “ ∈ ”. As´ si a es un elemento del conjunto A, escribimos a ∈ A, que se lee: “aı, pertenece a A” o “a es elemento de A”. Para indicar que a no es un elemento del conjunto A, se utiliza la negaci´n del s´ o ımbolo de pertenencia “ ∈ ”. Es decir, si a no es un elemento / de A, escribimos a ∈ A. / Ejemplo 1.1 Si A es el conjunto vac´ tenemos x ∈ A para cualquier x. ıo, / Si A y B son dos conjuntos, diremos que son iguales si tienen exactamente los mismos elementos y escribimosA = B. Esto, en la teor´ axiom´tica, es conocido como el axioma ıa a de extensi´n. Como quiera que se vea, este hecho corresponde con la idea intuitiva de que o los conjuntos consisten de elementos y nada m´s; esto es, conocer un conjunto es conocer a sus elementos. Nota: Cuando decimos que “dos conjuntos A y B son iguales”, realmente queremos decir que “los s´ ımbolos A y B representan el mismoconjunto”. Ejemplo 1.2 Si A es el conjunto formado por todos los n´meros naturales menores que u 0, entonces A = ∅.

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Si A y B son dos conjuntos, diremos que A es subconjunto de B si todo elemento de A es tambi´n elemento de B. Para indicar que A es subconjunto de B, utilizamos el s´ e ımbolo de inclusi´n “ ⊆ ”; escribimos A ⊆ B. Si A ⊆ B, tambi´n se dice que Aest´ contenido en o e a B, o que B contiene a A. Ejemplo 1.3 El conjunto de los n´meros naturales est´ contenido en el conjunto de los u a n´meros enteros: N ⊆ Z. Adem´s Z ⊆ Q y Q ⊆ R. u a Ahora, ¿qu´ significa que A no sea subconjunto de B?. Si A no es subconjunto de B, no e se cumple la afirmaci´n “todo elemento de A es tambi´n elemento de B”, y debe existir o e entonces por lo menos un elementode A que no sea elemento de B. Simb´licamente se o escribe A B. Ejemplo 1.4 Note que Z N, pues existen enteros x que no son naturales. Basta con observar que −1 ∈ Z y −1 ∈ N. / Ejemplo 1.5 El conjunto vac´ es subconjunto de cualquier conjunto. ıo En efecto, sea A un conjunto cualquiera. Si fuera falso que ∅ ⊆ A, deber´ existir al menos ıa un x ∈ ∅ tal que x ∈ A, y como no existe ning´n x ∈ ∅, estoes imposible. Aqu´ aplicamos / u ı un argumento de demostraci´n por contradicci´n. o o Recordemos que los conjuntos est´n formados por elementos. Si queremos definir un a conjunto particular, es necesario precisar los elementos que lo forman. Para esto se procede de dos maneras: • Por enumeraci´n de todos sus elementos (extensi´n). o o Ejemplo 1.6 El conjunto formado por las letras a, e, i, o, u. •Enunciando una propiedad caracter´ ıstica de sus elementos (comprensi´n). o Ejemplo 1.7 El conjunto de los n´meros enteros m´ltiplos de 3. u u Para denotar los conjuntos utilizaremos los s´ ımbolos { } , as´ : ı

• {a, e, i, o, u} se leer´ “el conjunto formado por las letras a, e, i, o, u ”. a • {x : x es entero m´ltiplo de 3 } se leer´ “el conjunto de los enteros x que son u a m´ltiplos de...