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Criterios de Convergencia para Series
1

Serie Geom´trica
e

Sea (a.rn )n∈N una sucesi´n geom´trica de t´rmino a y raz´n r. Se llama serie gem´trica a la
o
e
e
o
esucesi´n de sumas parciales asociada a una sucesion geom´trica, es decir toda serie de la forma:
o
e
∞
n=0

a.rn = a + a.r + a.r2 + . . . + a.rn + . . . con a = 0 , a, r ∈ R
∞

a.rn si:Sea la serie geom´trica,
e
n=0

1. r ≥ 1, la serie diverge a +∞ (si a > 0) o a −∞ (si a < 0).
2. |r| < 1, la serie converge y su suma vale

a
.
1−r

3. |r| = −1, la serie es oscilante,aunque las sumas parciales est´n acotadas.
a
4. r < −1, la serie es oscilante y las sumas parciales tienden, en valor absoluto a +∞.

2

Serie arm´nica
o
∞

Se llama serie arm´nica a las serieo
n=1

α > 0.
Sea la serie arm´nica generalizada,
o

∞
n=1

1
n
1
nα

∞

y se llama serie arm´nica generalizada a
o
n=1

1
nα

con

si:

1. α ≥ 1, la serie diverge.
2. α >1, la serie convege.

3

Criterios de convergencia para series de t´rminos no
e
negativos

A continuacion se nombrar´n algunos criterios para determinar la convergencia de series de
at´rminos no negativos.
e
(a) Primer criterio de comparaci´n para la convergencia de series de t´rminos no
o
e
∞

negativos: Sean

∞

an y
n=1

bn dos series de t´rminos no negativos:
e
n=1∞

1. Si an ≤ bn desde un cierto n0 en adelante y

∞

bn converge entonces la seri
n=1

an
n=1

tambi´n converge.
e

∞

2. Si an ≤ bn desde un cierto n0 en adelante y
tambi´n diverge.e

1

∞

an diverge entonces la serie
n=1

bn
n=1

∞

∞

(b) Segundo criterio de comparaci´n: Sean
o

an y
n=1

bn dos series de t´rminos no
e
n=1

negativos tales quedesde un cierto n0 en adelante se verifica:
bn converge,
n=1
∞

2. Si

≤

bn+1
,
bn

entonces:

∞

∞

1. Si

an+1
an

an converge.
n=1
∞

an diverge,
n=1

bn diverge....