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El m´etodo Monte-Carlo y su aplicaci´on a finanzas
Patricia Saavedra Barrera1 y V´ıctor Hugo Ibarra Mercado

1 Departamento

2

de Matem´aticas, Universidad Aut´onoma Metropolitana-Iztapalapa,
psb@xanum.uam.mx
2 Escuela de Actuar´
ıa, Universidad An´ahuac. ESFM-IPN, vibarra@anahuac.mx

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´Indice general
1. Valuaci´
on de opciones por Monte-Carlo
1.1. Introducci´on a las opciones . . . . . . .. . . . . . . .
1.2. Valuaci´on de una opci´on europea. . . . . . . . . . . .
1.3. El m´etodo Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Valuaci´on de opciones asi´aticas . . . . . . . . . . . .
1.5. Esquemas num´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Resultados de la simulaci´on Monte Carlo . . . . . . .
1.7. M´etodos de reducci´on de varianza: variable de control
1.8. Resultadosnum´ericos con reducci´on de varianza . . .

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A. Anexos
A.1. Generadores de n´
umeros aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2. Pruebas para validar generadores de n´
umeros aleatorios . . . . . . . . . . .
A.3. Generaci´on de n´
umeros aleatorios con otras distribuciones . . . . . . . . .

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2. C´
alculo de la cobertura
2.1. C´alculo de la cobertura para opciones europeas vainilla
2.2. C´alculo de la cobertura por Monte-Carlo . . . . . . . .
2.2.1. Cobertura de la opci´on asi´atica . . . . . . . . .
2.3. C´alculo de algunas griegas por Monte-Carlo . . . . . .
2.3.1. C´alculo de las griegas para la opci´on asi´atica . .

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B. Integraci´
on num´
erica por Monte-Carlo
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B.1. Integraci´on num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
B.2. Integraci´on m´
ultiple . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

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´INDICE GENERAL

Introducci´
on
La valuaci´on y cobertura de las opciones es un tema que en los u
´ltimos veinte a˜
nos ha
adquirido una gran importancia. Las opciones vainilla tipo call se comenzaron a negociar
en forma sistem´atica desde 1973 en el mercado de futuros de Chicago, las opciones put
a partir de 1977 y las ex´oticas en 1982. Aprincipios de los a˜
nos noventa el mercado de
opciones se estimaba en cuatro billones de d´olares, ver [6].
El problema de la valuaci´on puede ser analizado tanto desde un marco probabil´ıstico
como desde el punto de vista de las ecuaciones en derivadas parciales. Desde el probabil´ıstico, valuar una opci´on se reduce al c´alculo de una esperanza de una funci´on continua
aplicada a un procesoestoc´astico, mientras que determinar la cobertura implica el c´alculo
de la derivada de dicha esperanza. Para buena parte de las opciones la valuaci´on y el
c´alculo de la cobertura no pueden hacerse en forma exacta, hay que aproximarlas por
medio de m´etodos num´ericos. Entre ellos, el m´as popular es el m´etodo de Monte-Carlo
que consiste en aproximar la esperanza por medio de la media de unamuestra de variables
aleatorias independientes e id´enticamente distribuidas.
Estas notas tienen como objetivo introducir al lector a la valuaci´on y c´alculo de la
cobertura tanto desde el punto de vista te´orico como num´erico. El enfasis est´a puesto en
la parte num´erica, presentando aspectos que son de inter´es para las aplicaciones, en particular en los aspectos de precisi´on y rapidez de losm´etodos. El material es autocontenido
en lo que se refiere a la parte num´erica. Se presupone que el lector tiene conocimientos de
probabilidad, en particular de procesos estoc´asticos continuos, y de estad´ıstica elemental.
Se incluyen algoritmos que podr´an ser programados f´acilmente en cualquier lenguaje de
programaci´on.
El primer cap´ıtulo se dedica a la valuaci´on de opciones europeas y...