Bloque 2

Plan de clase (1/2)
Escuela: ___________________________________________ Fecha: _____________
Profr. (a): ______________________________________________________________

Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA

Contenido: 7.2.2 Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

Intenciones didácticas. Que los alumnos resuelvanproblemas que impliquen el cálculo del mínimo común múltiplo, empleando el producto de los factores primos.

Consigna. Reúnete con otro compañero y juntos resuelvan los siguientes problemas:

1. Se desea envasar el contenido de un tanque de líquido para limpieza en garrafones de la misma capacidad. ¿Cuál la cantidad mínima de líquido que debe tener el tanque, de tal manera que se puedanutilizar garrafones de 4, de 10 o de 12 litros y que no sobre líquido y los garrafones se llenen completamente?

2. En una línea de transporte de pasajeros, un autobús A sale de la terminal cada 1 ½ hora; un autobús B sale cada 2 horas y un autobús C, cada 2 ½ horas. Si salieron al mismo tiempo los tres autobuses a las 7 de la mañana del día lunes, ¿a qué hora y día vuelven a coincidir sus salidas?3. Una sirena toca cada 450 segundos, otra cada 250 segundos y una tercera cada 600 segundos. Si a las 4 de la mañana han coincidido tocando las tres, ¿a qué hora volverán a tocar otra vez juntas?


Consideraciones previas:
Con respecto al primer problema, es muy probable que los alumnos lo resuelvan listando los múltiplos de cada uno de los números involucrados e identificar visualmente elnúmero buscado que en este caso es 60. Por lo que la cantidad mínima del tanque debe ser de 60 litros.
Para el segundo problema, es probable que los estudiantes hagan una lista con los tiempos que pasan cada vez que sale un autobús, hasta lograr que los tiempos coincidan:

Autobús A: 1 ½, 3, 4½, 6, 7 ½, …
Autobús B: 2, 4, 6, 8, 10, ...
Autobús C: 2 ½, 5, 7½, 10, 12½, …

Si es así, encontrarla respuesta al problema resulta muy laborioso. Otros, es probable que renuncien a trabajar con números fraccionarios y decidan expresar los tiempos de salida de los autobuses en minutos, es decir, 90, 120 y 150 minutos, respectivamente; luego encuentren el mínimo común múltiplo haciendo un listado de los múltiplos de cada uno, lo cual ya no es tan funcional; sin embargo es muy probable que lamayoría intente resolverlo por esta vía, incluso habrá quienes sí puedan resolverlo.
Este sería el momento en que el profesor puede dar a conocer un procedimiento abreviado para calcular el mínimo común múltiplo, a partir de la factorización de números primos. Se inicia por descomponer los números involucrados en factores primos, como se muestra enseguida:

|Descomposición en factores primos|
|90 |2 |120 |2 |150 |2 |
|45 |3 |60 |2 |75 |3 |
|15 |3 |30 |2 |25 |5 |
|5 |5 |15 |3 |5 |5 |
|1 | |5 |5 |1 ||
| | |1 | | | |

Luego se escriben las descomposiciones en forma de potencia:
90 = 2 x 32 x 5
120 = 23 x 3 x 5
150 = 2x 3 x 52
Finalmente se toman los factores primos comunes y no comunes con mayor exponente. En este caso resulta:

MCM (90, 120, 150) = 23 x 32 x 52= 1800

Esto quiere decir que en un tiempo de 1 800minutos volverán a coincidir los tres autobuses, tiempo equivalente a 30 horas. Si coincidieron sus salidas a las 7:00 horas del día lunes, volverán a coincidir el martes a las 13:00 horas.

Una forma simplificada de obtener el MCM de los números 90, 120 y 150 es la siguiente:

|Descomposición en factores primos |
|90, 120, 150 |2 |...