bloque dos de geometria

II

BLOQUE II
GEOMETRÍA

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1

8

8

8

Considera los vectores u (3, 2, –1), v (– 4, 0, 3) y w (3, –2, 0):
a) ¿Forman una base de

Á3?
8

b) Halla m para que el vector (2, –6, m) sea perpendicular a u .
ì

8
8
c) Calcula | u |, | v | y ( u, v ).
8 8

Resolución
a) Para que los tres vectores formen una base, han de ser L.I. Veámoslo:

|

|

3 2 –1
–4 0 3= 28 ? 0. Forman una base de
3 –2 0

Á3.

b) (2, –6, m) · (3, 2, –1) = 6 – 12 – m
8

(2, –6, m) 2 u ï 6 – 12 – m = 0 ï m = –6
8

c) | u | = √32 + 22 + 12 = √14
8

| v | = √42 + 32 = √25 = 5
ì
8 8

cos ( u, v ) =

2

ì

–15

8 8

√14 · 5

= –0,80179… 8 ( u, v ) = 143° 18' 3''

8

Halla un vector de módulo 13 que sea perpendicular a los vectores u(24, 10, 7)
8
yv (–12, –5, 8).
Resolución
8

8

u Ò v = (115, –276, 0)

| 8 Ò 8| = √1152 + 2762 = 299 = 13 · 23
u v
El vector buscado es

1 8 8
u Ò v = (5, –12, 0).
23

También cumple las condiciones pedidas su opuesto: (–5, 12, 0).
Soluciones: (5, –12, 0) y (–5, 12, 0)

Bloque II. Geometría

1

3

Considera los puntos P (2, 3, 5) y Q (8, –9, 2):
a) Halla el punto medio de PQ.
b)Halla el punto simétrico de P respecto de Q.
c) Obtén un punto R de PQ tal que 2 PR = RQ .
Resolución
a) Punto medio:

(

) (

2+8 3–9 5+2
7
,
,
= 5, –3,
2
2
2
2

)

b) Sea S (a, b, g) el simétrico de P respecto de Q. Entonces:
°
§
§
§
3+b
§
= –9 ¢ a = 14, b = –21, g = –1
2
§
§
5+g
§
=2 §
2
£
Así, el simétrico de P respecto de Q es (14, –21, –1).
2+a
=8
2

c)P (2, 3, 5)

Q (8, –9, 2)

R

8

PQ = (6, –12, –3)
8

8

8

8

OR = OP + PR = OP +
4

1 8
PQ = (2, 3, 5) + (2, –4, –1) = (4, –1, 4)
3

Dados los puntos P (3, 2, 0), Q (5, 1, 1) y R (2, 0, –1):
a) Halla la recta que pasa por P y Q.
b) Halla el plano que contiene a P, Q y R.
c) Halla la distancia entre P y Q.
Resolución
8

a) PQ = (2, –1, 1)
° x = 3 + 2l
§
r: ¢ y =2 – l
§
l
£z =
8

b) PR = (–1, –2, –1)
8

8

PQ Ò PR = (2, –1, 1) Ò (–1, –2, –1) = (3, 1, –5) 2 π
π: 3(x – 3) + 1(y – 2) – 5(z – 0) = 0
3x + y – 5z – 11 = 0
c) dist (P, Q ) = √22 + 12 + 12 = √6

2

Bloque II. Geometría

BLOQUE

5

Dados el punto A (–1, 2, 3) y la recta r :
nadamente:

I

x–1
y+2
z–1
=
=
, calcula razo1
1
2

a) La distancia de A a r.
b) Elpunto simétrico de A respecto de r.
Resolución
R (1 + l, –2 + l, 1 + 2l) es un punto genérico de r .
8

AR (2 + l, –4 + l, –2 + 2l)
8

8

Buscamos R para que AR 2 r ; es decir, AR 2 (1, 1, 2):
(2 + l, –4 + l, –2 + 2l) · (1, 1, 2) = 2 + l – 4 + l – 4 + 4l = 6l – 6
8

AR 2 r ï 6l – 6 = 0 ò l = 1
Por tanto, R (2, –1, 3) es el pie de la perpendicular de A a r.
a) dist (A, r) = dist (A,R) = √32 + 32 + 0 = √18 = 3√2
b) El simétrico de A respecto de r es el simétrico, A' (a, b, g), de A respecto de
R:
–1 + a
°
=2 §
2
§
§
2+b
§
= –1 ¢ a = 5, b = –4, g = 3
2
§
§
3+g
=3 §
§
2
£
Así, A' (5, –4, 3).

6

Calcula la posición relativa de la recta y el plano siguientes:
° x = 2 + 3l
§
–l
r: ¢ y =
§
£z = 0

π: x + y + z = 0

Resolución
8

(3, –1, 0) = dr// r ° 8 8
8
¢ dr · n π = 2 ? 0
(1, 1, 1) = nπ 2 π £
8

8

Por tanto, dr no es perpendicular a n π. Es decir, la recta no es paralela al plano, ni
está contenida en él.
Conclusión: la recta corta al plano.
Bloque II. Geometría

3

7

=4
°x + y
Dadas las rectas r : ¢
y+z=5
£

y

s:

x–1
y+1
z
=
=
comprueba que
1
–1
3

se cruzan y calcula la distancia entreellas y la ecuación de la perpendicular
común.
Resolución
Ecuaciones paramétricas de r . Llamamos y = l:
°x = 4 – l
§
l
r: ¢ y =
§
£z = 5 – l

R0 (4, 0, 5)

8

dr (–1, 1, –1)

Ecuaciones paramétricas de s :
°x = 1 + μ
§
s : ¢ y = –1 – μ
§
3μ
£z =

S0 (1, –1, 0)
8

ds (1, –1, 3)

8

R0 S0 = (–3, –1, –5)
• Posición relativa:
8

8

8

Vemos el rango de la matriz...