Bloque1 NumerosComplejos 1

Matemáticas
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RESUMEN TEORÍA:
Números Complejos

Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Universidad de Cantabria

Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I

Teoría: Números Complejos

Necesidad de ampliar el conjunto de los númer os r eales

D efinición
El conjunto de los números complejos se define como el conjunto »2 con la suma y el
producto complejodefinido anteriormente. Es decir, » = ( » 2 , +, * ) .
Adición de Complejos

Se define:

(a

, b ) + (c , d ) = (a + c , b + d )

(2 , 3) + (3 , 8 ) = (2 + 3

Ejemplo

, 3 + 8)

Multiplicación de Complejos

Se define:

2

(a

, b ) * (c , d )

=

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

(a ⋅ c

- b ⋅d , a ⋅d

+ b ⋅c)

Ingeniería de Telecomunicación

Teoría: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

(3Ejemplo


, 5 ) *  2 ,


1 

2 

=


 3 ⋅ 2 - 5 ⋅ 1

2

,

3⋅

1
2

+


5 ⋅ 2 



 7 ,
 2

=

23 

2 

Vamos a definir ahora los inversos para estas dos operaciones:

Inverso Aditivo (opuesto):

(a

Dado

, b)

Ejemplo: Entonces

su opuesto es: ( −a , - b )

( −2 , 5 )

(2 ,

su inverso

( −2 , 5 ) + ( 2 ,

- 5 ) . Observar que:

- 5 ) = ( 0, 0 )

InversoMultiplicativo:

(a

Dado

 a
-b 
su inverso es: 
,

 a 2 + b 2
2
a + b 2 

, b ) ≠ ( 0, 0 )

Ejemplo: Entonces

( −2 , 5 )

 −2 −5 

,
 . Observar que:
 29
29 

su inverso
 −2

( −2, 5 ) * 

 29

−5 
 = ( 1, 0 )
29 

,

Sustracción de complejos

La resta de dos complejos no es más que sumar al primero el opuesto del segundo

(a

, b ) − (c , d )

=

(a

, b)

( −c

+

, −d)

=

(a − c

, b −d)

Ejemplo

( 10

, 12 ) − ( 8 , 15 )

=

( 10

, 12 )

+

( −8

, − 15 )

=

(2

, − 3)

División de complejos

El cociente de dos complejos no es más que multiplicar al primero el inverso del segundo
siempre que éste no sea nulo

(a

, b ) / (c , d ) =
 c
= ( a , b ) * 
 c 2 + d 2

,

−d
2

c +d

2





=



 ac + bd , bc − ad 

 c 2 + d 2
2
2
c +dProfesora: Elena Álvarez Sáiz

S

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Fundamentos Matemáticos I

Ejemplo

(1

, 2) / ( 3 , 4)

=

(1

3
−4 
, 2 ) * 
,

 25
25 

Producto por un número de la forma:

(λ

, 0 ) * (a , b )

=

( λ a − 0b

=

 11
2 
,


 25
25 

( λ, 0 )

, 0a + λ b )

=

(λ a

, λb )

= λ (a , b )

Luego podemos identificar a los númeroscon segunda componente cero con los números
reales.

(λ

, 0) ≡ λ

For ma binómica

Hasta ahora hemos considerado los números complejos expresados en forma de “par ordenado”
vamos a ver otra forma de expresar un número complejo.
Llamemos unidad imaginaria i = ( 0, 1 ) es fácil ver que:

(a

, b)

=

(a, 0 ) + ( 0, b ) = (a, 0 ) + (b, 0 ) * ( 0,1) ≡ a + bi

Ejemplo: Entonces

 −9 ,


5
+ 
6

su forma binómica es

−9

+

5
i
6

Es fácil ver que i 2 = i * i = ( 0, 1 ) * ( 0, 1 ) = ( −1, 0 ) ≡ −1 .
Importante: Para operar con números complejos dados en forma binómica se siguen las
mismas reglas de las operaciones en el campo real teniendo en cuenta que i2 = -1

Entonces

(a

+ bi ) + ( c + di ) = ( a + c

) + (b + d ) i

y para la multiplicación:

(a

+ bi ) ( c + di ) = ac + adi +bic + bdi 2
= ac − bd + ( ad + bc ) i

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Profesora: Elena Álvarez Sáiz

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Fundamentos Matemáticos I

Con esta nueva notación podemos escribir » = {a + bi / a, b ∈ » }
Dado un número complejo z = a + bi se llama parte real de z al valor real Re ( z ) = a y
parte imaginaria al valor real Im ( z ) = b . Por lo tanto,

z = Re ( z ) + i Im ( z)
Si la parte real de un número complejo es cero se le llama Imaginario puro y si es cero
la parte imaginaria se trata de un número real.
a + bi

→

si






b=0



a = 0 ⇒ 0 + bi
⇒ a + 0i = a

=

bi

Im aginario Puro
Que representa un N ° Re al

Repr esentación gr áfica de númer os comple jos

Fijado en el plano un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales, los números complejos...