Bloque1 NumerosComplejos

Matemáticas
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EJERCICIOS RESUELTOS:
Números Complejos

Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Universidad de Cantabria

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

Interpretación geométrica de la suma y el producto

1

Si z1 y z 2 son complejos, ¿qué representa el número

z1 + z 2
2

. ¿Cuál es el lugar geométrico de lospuntos

λz1 + µz 2 si λ y µ son reales y verifican λ + µ = 1 ?

Solución:

Gráficamente el afijo del número complejo
z1 + z 2
2

=

x1 + x 2
2

+i

y1 + y2
2

representa el punto medio del vector que une el origen con el afijo del número
complejo z1 + z 2

•

Los puntos de la forma λz1 + µz 2 son los puntos de la recta
λz1 + µz 2 = ( 1 − µ ) z1 + µz 2 = z1 + µ ( z 2 − z1 )

es decir, la recta quepasa por z1 y cuyo vector director es z 2 − z1 .

2

Demuéstrese que si los puntos z1 , z 2 , z 3 son los vértices de un triángulo equilátero, entonces:
z12 + z 22 + z 32= z1z 2 + z1z 3 + z 2z 3

z 3 − z1
z 2 − z1
z1 − z 2
z 3 − z2

=

z 3 − z1 e
z 2 − z1 e

=

z1 − z 2 e

i arg(z 3 −z1 )
i arg(z 2 −z1 )

=e

π

i arg( z1 −z 2 )

z 3 − z2 e

i arg( z 3 −z1 )

=e

3

π

ya que

arg ( z 3 − z1 ) = arg( z 2 − z1 ) +

2

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

π
3

3

i

i

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Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

π
= arg ( z1 − z 2 )
3

arg ( z 3 − z 2 ) +
Por lo tanto,
z 3 − z1
z 2 − z1

=

z1 − z 2
z 3 − z2

⇒ z 32 − z1z 3 − z 2z 3 + z 2z1 = z 2z1 − z 22 − z12 + z1z 2 ⇒
⇒

z12 + z 22 + z 32 = z1z 2 + z1z 3 + z 2z 3

Veamos si es cierto o no elrecíproco, es decir, veamos si es cierto que dados z1 , z 2 , z 3 son
z12 + z 22 + z 32= z1z 2 + z1z 3 + z 2z 3

los tres diferentes verificando

entonces forman un

triángulo equilátero.

Se realiza la traslación del triangulo llevando zo al origen: z * = z − z1 . Los números son
ahora:

{ 0, z 2 − z1, z 3 − z1 } = { 0, z 2*, z 3* }
Entonces, la igualdad z12 + z 22 + z 32= z1z 2 + z1z 3 + z 2z 3 setransforma en
z 2*z 3* = z 2*2 + z 3*2
despejando
z 3*2 − z 2* z 3* + z 2*2 = 0

⇒ z 3* =

⇒
resolvemos
la ecuación
de segundo
grado en z 3*

1 *
z2 ±
2

(

Esto significa que z 3* es z 2* girado

π
3

3i z 2*

3

1 *
z 2 + z 2*2 − 4z 2*2
2

(

)

⇒

1 1

⇒ z 3* = z 2*  ±
3i 

 2 2

radianes (60 grados) y como

{ 0, z 2*, z 3* }
{ z1, z2* + z1, z2* + z1 − z1 } = { z1, z 2, z 3 } .

que z 3* =z 2* . Por lo tanto,

)

z 3* =

1 1
±
3 i = 1 se tiene
2 2

forman un triángulo equilátero lo que significa que

Un triangulo equilátero tiene su centro en el origen y un vértice en el punto (1,0). Determinar los otros
dos vértices.

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

S

3

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Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

Los ángulos que forman dos lados deun triángulo equilátero son de
avanzar

π
radianes, luego hay que
3

π π
2π
+ =
. Por lo tanto, como uno de los vértices es z1 = 1 = e 2πi , se tiene que
2
3
3
z 2 = e 2πie
z 3 = e 2πie

2 πi

2 πi

3e

3

2 πi

=e

3

2 πi

=e

3

4 πi

= cos

3

2π
2π
−1
3
+ isen
=
+
i
3
3
2
2

= cos

4π
4π
−1
3
+ isen
=
−
i
3
3
2
3

son los otros dos. En forma binómica


3   −1
3 
(1, 0),  −1 ,
,
,−


2 
 2 2   2
Otra forma: Podía haberse resuelto el problema observando si los afijos de z1 , z 2 , z 3 forman
un triángulo equilátero entonces
z1 = z 2 = z 3

y el ángulo entre 0z1 y 0z 2 es el mismo que entre 0z 2 y 0z 3 y el mismo que entre 0z 2 y

0z1 . Por esta razón los tres vértices son las tres raíces cúbicas de la unidad. En efecto,
3

1 =e

2k π
i
3

k = 0,1, 2 ⇒ z1 = e 0i , z2 = e

2π i
3 ,

z3 = e

4π i
3

Coordenadas complejas conjugadas

4

Hállese la ecuación de la circunferencia
a(x 2 + y 2 ) + 2bx + 2cy + d = 0
en función de las coordenadas complejas conjugadas (es decir, en función de z y de su conjugado)

Sea z = x + iy y z = x − iy entonces
z +z
=x
2

z −z
=y
2i

x 2 + y2 = z

Sustituyendo en la ecuación dada de la circunferencia

4

Profesora: Elena...