Bloque2 SucesionesSeries
Páginas: 18 (4315 palabras)
Publicado: 25 de julio de 2015
Matemáticas
1
1
RESUMEN TEORÍA:
Sucesiones y Series
Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Universidad de Cantabria
Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Sucesiones y Series
Fundamentos Matemáticos I
SUCESIONES EN »
Prerrequisitos:
−
Desigualdades de números reales
−
Conceptos generales de funciones: dominio, cotas, crecimiento, …
−
Conocimiento de laspropiedades de las funciones elementales: polinómicas,
racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y del valor
absoluto.
−
Cálculo de límites, indeterminaciones y regla de L’Hopital
−
Cálculo de derivadas y estudio del crecimiento de una función
−
Métodos de demostración: inducción y reducción al absurdo.
Objetivos:
1. Tener claros los siguientes conceptos:
•
Qué es una sucesión•
Sucesión
acotada,
sucesión
monótona,
sucesión
convergente/divergente/oscilante
•
Relación entre acotación, monotonía y convergencia de una sucesión
•
Propiedades de los límites de sucesiones
•
Órdenes de magnitud de una sucesión:
o
Sucesiones del mismo orden
o
Sucesiones equivalentes
o
Sucesión de orden superior/inferior
2. Saber hacer:
•
2
Estudiar la convergencia de unasucesión
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Teoría: Sucesiones y Series
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
o
Técnicas de límites
o
Regla del sándwich o Teorema del encaje
o
El producto de un infinitésimo por una sucesión acotada es un
infinitésimo
o
Sucesiones recursivas
•
Determinar el orden de magnitud de una sucesión
•
Comparar el orden de infinitud de una sucesiónDEFINICIONES BÁSICAS
Dos sucesiones {an } y {bn } son iguales si an = bn para todo n ∈ » .
Una sucesión admite una representación en la recta real y en el plano:
Sucesiones monótonas
Definiciones:
A) Una sucesión
( an )
se denomina monótona creciente si verifica:
a1 ≤ a2 ≤ a 3 ≤ … ≤ an ≤ …
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
3
Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Sucesiones y SeriesFundamentos Matemáticos I
esto es si se cumple
Si verifica an < an +1
an ≤ an + 1
∀n ∈ »
∀n ∈ » , se llama estrictamente creciente.
B) Análogamente, una sucesión
( an )
se denomina monótona decreciente si se
cumple
an ≥ an + 1
Si verifica an > an +1
∀n ∈ »
∀n ∈ » , se llama estrictamente decreciente.
C) Una sucesión se denomina monótona si es monótona creciente o monótona
decreciente.Applet Laboratorio Sucesiones
Ejemplos :
•
La sucesión -1, -2, 3, -4, -5, 6, -7, -8, 9 ... no es monótona.
•
La sucesión de término general an =
•
La sucesión de término general an = n
(−1)n
n
tampoco es monótona.
es monótona creciente y también
estrictamente creciente.
•
La sucesión –1, -1, 0, 0, 1, 1, 2, 2 ... es monótona creciente, pero no es
estrictamente creciente.
•
La sucesión detérmino general an = −n 2
también estrictamente decreciente.
4
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
es monótona decreciente y es
Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Sucesiones y Series
Fundamentos Matemáticos I
•
La sucesión
1 1 1 1 1 1 1 1 1
, , , , , , , , , … es monótona decreciente, sin embargo
2 2 3 4 4 5 6 6 7
no es estrictamente decreciente.
Nota práctica:
−
En algunos casos,para probar que una sucesión es monótona creciente
resulta útil probar que an +1 − an ≥ 0
∀n ∈ »
y para sucesiones de
términos positivos también se puede demostrar probando que se cumple:
−
−
an
≥1
∀n ∈ »
Análogamente, para las sucesiones monótonas decrecientes se probará que
an + 1 − a n ≤ 0
∀n ∈ » , o bien, si es de términos positivos, que verifica
−
−
an + 1
an + 1
an
≤1
∀n ∈ »Teniendo en cuenta que una sucesión es una aplicación de los números
naturales en los reales, para ciertas sucesiones, se puede utilizar técnicas
de cálculo diferencial para estudiar la monotonía. Bastará considerar la
función resultado de cambiar n por x en el término general de la sucesión.
Si an = f ( n ) y
f '(x ) > 0
(respectivamente
f ' ( x ) < 0 ) para
x > no
entonces an es creciente...
1
1
RESUMEN TEORÍA:
Sucesiones y Series
Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Universidad de Cantabria
Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Sucesiones y Series
Fundamentos Matemáticos I
SUCESIONES EN »
Prerrequisitos:
−
Desigualdades de números reales
−
Conceptos generales de funciones: dominio, cotas, crecimiento, …
−
Conocimiento de laspropiedades de las funciones elementales: polinómicas,
racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y del valor
absoluto.
−
Cálculo de límites, indeterminaciones y regla de L’Hopital
−
Cálculo de derivadas y estudio del crecimiento de una función
−
Métodos de demostración: inducción y reducción al absurdo.
Objetivos:
1. Tener claros los siguientes conceptos:
•
Qué es una sucesión•
Sucesión
acotada,
sucesión
monótona,
sucesión
convergente/divergente/oscilante
•
Relación entre acotación, monotonía y convergencia de una sucesión
•
Propiedades de los límites de sucesiones
•
Órdenes de magnitud de una sucesión:
o
Sucesiones del mismo orden
o
Sucesiones equivalentes
o
Sucesión de orden superior/inferior
2. Saber hacer:
•
2
Estudiar la convergencia de unasucesión
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Teoría: Sucesiones y Series
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
o
Técnicas de límites
o
Regla del sándwich o Teorema del encaje
o
El producto de un infinitésimo por una sucesión acotada es un
infinitésimo
o
Sucesiones recursivas
•
Determinar el orden de magnitud de una sucesión
•
Comparar el orden de infinitud de una sucesiónDEFINICIONES BÁSICAS
Dos sucesiones {an } y {bn } son iguales si an = bn para todo n ∈ » .
Una sucesión admite una representación en la recta real y en el plano:
Sucesiones monótonas
Definiciones:
A) Una sucesión
( an )
se denomina monótona creciente si verifica:
a1 ≤ a2 ≤ a 3 ≤ … ≤ an ≤ …
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
3
Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Sucesiones y SeriesFundamentos Matemáticos I
esto es si se cumple
Si verifica an < an +1
an ≤ an + 1
∀n ∈ »
∀n ∈ » , se llama estrictamente creciente.
B) Análogamente, una sucesión
( an )
se denomina monótona decreciente si se
cumple
an ≥ an + 1
Si verifica an > an +1
∀n ∈ »
∀n ∈ » , se llama estrictamente decreciente.
C) Una sucesión se denomina monótona si es monótona creciente o monótona
decreciente.Applet Laboratorio Sucesiones
Ejemplos :
•
La sucesión -1, -2, 3, -4, -5, 6, -7, -8, 9 ... no es monótona.
•
La sucesión de término general an =
•
La sucesión de término general an = n
(−1)n
n
tampoco es monótona.
es monótona creciente y también
estrictamente creciente.
•
La sucesión –1, -1, 0, 0, 1, 1, 2, 2 ... es monótona creciente, pero no es
estrictamente creciente.
•
La sucesión detérmino general an = −n 2
también estrictamente decreciente.
4
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
es monótona decreciente y es
Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Sucesiones y Series
Fundamentos Matemáticos I
•
La sucesión
1 1 1 1 1 1 1 1 1
, , , , , , , , , … es monótona decreciente, sin embargo
2 2 3 4 4 5 6 6 7
no es estrictamente decreciente.
Nota práctica:
−
En algunos casos,para probar que una sucesión es monótona creciente
resulta útil probar que an +1 − an ≥ 0
∀n ∈ »
y para sucesiones de
términos positivos también se puede demostrar probando que se cumple:
−
−
an
≥1
∀n ∈ »
Análogamente, para las sucesiones monótonas decrecientes se probará que
an + 1 − a n ≤ 0
∀n ∈ » , o bien, si es de términos positivos, que verifica
−
−
an + 1
an + 1
an
≤1
∀n ∈ »Teniendo en cuenta que una sucesión es una aplicación de los números
naturales en los reales, para ciertas sucesiones, se puede utilizar técnicas
de cálculo diferencial para estudiar la monotonía. Bastará considerar la
función resultado de cambiar n por x en el término general de la sucesión.
Si an = f ( n ) y
f '(x ) > 0
(respectivamente
f ' ( x ) < 0 ) para
x > no
entonces an es creciente...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.