Bloque2a SucesionesNumericas

Matemáticas
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EJERCICIOS RESUELTOS:
Sucesiones numéricas

Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Universidad de Cantabria

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Sucesiones numéricas

Fundamentos Matemáticos I

Sucesiones monótonas y sucesiones acotadas

1 Sucesiones monótonas: ejemplos

•

La sucesión -1, -2, 3, -4, -5, 6, -7, -8, 9 ... no es monótona.

•

Lasucesión de término general an =

•

La sucesión de término general an = n

(−1)n
n

tampoco es monótona.
es monótona creciente y también

estrictamente creciente.
•

La sucesión –1, -1, 0, 0, 1, 1, 2, 2 ... es monótona creciente, pero no es
estrictamente creciente.

•

La sucesión de término general an = −n 2

es monótona decreciente y es

también estrictamente decreciente.
•

1 1 1 1 1 1 1 1 1
, , ,, , , , , , … es monótona decreciente, sin embargo
2 2 3 4 4 5 6 6 7

La sucesión

no es estrictamente decreciente.

2 Estudiar la monotonía de las siguientes sucesiones:
an =

2n − 1
n

bn =

8n
1 + 2n

cn =

3n
n +1

dn =

1
n3

Solución:
a) Vamos a probar que los términos de esta sucesión verifican
an + 1 − a n > 0

∀n ∈ » , es decir que se trata de una sucesión monótona

estrictamentecreciente.
2(n + 1) − 1 2n − 1
2n + 1 2n − 1
−
=
−
=
n +1
n
n +1
n
(2n + 1) ⋅ n − (n + 1)(2n − 1)
2n2 + n − 2n2 − n + 1
1
=
=
=
>0
(n + 1) ⋅ n
(n + 1) ⋅ n
(n + 1) ⋅ n

an + 1 − an =

2

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

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Fundamentos Matemáticos I

el carácter positivo del anterior cociente está garantizado porque n es un
número natural.
b) Eneste caso vamos a demostrar que bn ≤ bn +1

∀n ∈ » , con lo cual la

sucesión será monótona creciente.
8 ⋅ (n + 1)
8n
≤
⇔
1 + 2n
1 + 2 ⋅ (n + 1)
8n
8n + 8
⇔
≤
⇔
1 + 2n
1 + 2n + 2
⇔ 8 n + 16 n 2 + 16 n ≤ 8 n + 8 + 16 n 2 + 16 n ⇔ 0 ≤ 8

bn ≤ bn +1 ⇔

lo cual es siempre cierto.
c) La sucesión dada es creciente, ya que cn ≤ cn +1

∀n ∈ Ν , pues

3 ⋅ (n + 1)
3n
3n
3n + 3
≤
⇔
≤
⇔
n + 1 (n + 1) + 1
n+1
n +2
⇔ 3n2 + 6n ≤ 3 n2 + 3n + 3n + 3 ⇔ 0 ≤ 3

cn ≤ cn +1 ⇔

la expresión última a la cual hemos llegado es siempre cierta, luego la
desigualdad inicial también lo es.
d) En este caso demostraremos que dn > dn +1

∀n ∈ » , es decir que la sucesión

es monótona estrictamente decreciente.

dn > dn +1 ⇔

1
n

3

>

1
3

(n + 1)

⇔ (n + 1)3 > n 3

esta desigualdad es cierta para cualquier númeronatural, luego se cumple
siempre.

3 Convergencia, divergencia: ejemplos

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

S

3

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Fundamentos Matemáticos I

Ejercicios: Sucesiones numéricas

1. La sucesión cuyos primeros términos son los siguientes

1,

1
1
1
, 3, , 5, , 7,...
2
4
6

Esta sucesión no es convergente, pero tampoco tiende a ∞ ni a −∞ . Los términos
impares se haceninfinitamente grandes a medida que n crece. Sin embargo, los
términos pares tienden a 0, para n suficientemente grande. Se dice que esta sucesión
no tiene límite o bien que su carácter es oscilante.
2. La sucesión de término general an = (−1)n ⋅ n , cuyos primeros términos son:
-1, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 8,...
Los términos de esta sucesión tampoco se acercan a un número concreto. Tienden a
∞ los términospares y tienden a −∞ los términos impares. Por tanto, tampoco

tiene límite, son oscilantes.

4

n

1 

Monotonía y acotación de  1 + 

n 

El término general de esta sucesión es una expresión indeterminada del tipo 1∞ ,
luego no es evidente que sea convergente. Se trata de una sucesión de números reales
positivos.

•

Comprobamos en primer lugar que la sucesión es creciente.

Poraplicación de la fórmula del binomio de Newton, tenemos

4

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n
 n   n  1  n  1
 n  1

1
an =  1 +  =   +   ⋅ +   ⋅
+ ... +   ⋅
=

2




 n  n n
n
 0   1  n  2  n
n ⋅ (n − 1)
n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 1) ⋅ ⋅ ⋅ (n − n + 1)
= 1+1+
+...