Bluff

Ingenier´ en Telem´tica ıa a Probabilidad y Estad´ ıstica Gu´ No. 3. T´cnicas de Conteo. ıa e Prof. Paola Palma

Objetivo
Conocer y utilizar las diferentes t´cnicas de conteo para simplificar procesos largos y tediosos. e

Conceptos b´sicos a
Experimento: Es cualquier proceso planeado que da lugar a la observaci´n o a la recolecci´n o o de informaci´n. Se puede repetir las veces que sequiera. o Espacio Muestral: (S) Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento dado. Evento: Es cualquier subconjunto de un espacio muestral S. Evento Simple: Evento que contiene un solo resultado. Evento Compuesto: Resultan de operar dos o m´s eventos. (A ∪ B, A ∩ B, A − B, A B). a Evento Complemento: Si A es un evento de un espacio muestral S, entonces el evento ‘no A’ o‘complemento de A’ se denota por A y se define como el evento que contiene todos los resultados de S que no est´n contenidos en A. a Eventos Excluyentes o Disjuntos: Dos eventos A y B son disjuntos si su intersecci´n es o vac´ es decir A y B son excluyentes si A ∩ B = ∅. ıa, Factorial: n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1. Se define 0! = 1.

T´cnicas de Conteo e
Son procesos que permiten contar los elementos deun conjunto de una forma r´pida y eficiente a sin necesidad de contarlos uno tras otro. Principio de la suma: Sean A y B dos sucesos disjuntos, es decir, que no se presentan al mismo tiempo. Si el suceso A se puede realizar de n maneras diferentes y el evento B se puede realizar de m maneras diferentes, entonces, el suceso A o el B se podr´ realizar de m+n maneras a distintas. Ejemplos 1. Unprofesor de lenguajes de programaci´n que posea 2, 5 y 3 libros introductorios a cada uno o de los lenguajes respectivos C, Fortran y Cobol, podr´ recomendar a sus alumnos un total ıa de 2 + 5 + 3 = 10 libros diferentes alternativos. 2. ¿Cu´ntas formas posibles existen de sacar un as o un rey? a Como los sucesos son disjuntos, o se saca as o se saca rey, el total de posibilidades ser´ 4+4 = 8. aPrincipio del producto: Si un evento A se puede realizar de n maneras diferentes y un segundo evento B se puede realizar de m maneras diferentes, entonces el n´mero de maneras en que los u eventos se pueden realizar en el orden indicado es el producto de n × m. Nota: Este principio al igual que el de la suma se cumple para dos o m´s eventos. a Ejemplos 1. La informaci´n se almacena en la memoriaprincipal de un ordenador en posiciones de memoo ria, de forma que cada posici´n se le asigna una direcci´n compuesta por una lista ordenada o o de 8 s´ ımbolos (llamado byte). Cada s´ ımbolo es un d´ ıgito binario (0 o 1) y se denomina bit. Considerando que en cada posici´n solo pueden existir dos alternativas: el 0 o el 1. El n´mero o u total de bytes diferentes que se pueden formar es 2 · 2 · 2 · 2· 2 · 2 · 2 · 2 = 28 = 256 lo que equivale a 256 posiciones direccionales. 2. Una escuela ofrece en cada curso la posibilidad de cursar 10 asignaturas de matem´ticas, 3 a de lenguaje y 4 de historia. Un estudiante hace su planificaci´n de forma que las dos primeras o asignaturas sean matem´ticas, luego sea lenguaje y las dos ultimas, historia. ¿De cu´ntas a ´ a maneras podr´ llevarse a cabo estaplanificaci´n? ıa o Si las dos primeras materias que se quieren cursar corresponden al grupo de las matem´ticas, a puede escoger entre 10 posibilidades distintas, despu´s podr´ escogerse unicamente entre 9 e a ´ restantes, es decir, las posibilidades ser´n 10 · 9. a Haciendo el mismo razonamiento con las otras materias, se tendr´ que todas las formas ıa posibles de realizarse la planificaci´n deseadaser´n: 10 · 9 · 3 · 4 · 3 = 3240. o a Permutaciones: Se tiene un conjunto de n objetos distintos y se quieren escoger r de esos objetos (0 ≤ r ≤ n) teniendo en cuenta el orden. El n´mero total de posibilidades ser´: u a P (n, n) =n Pn = n! n! P (n, r) =n Pr = (n − r)! Ejemplos 1. Una loter´ tiene 20 boletos, se escogen 2 para ser premiados. ¿De cu´ntas maneras se puede ıa a hacer este...