Bode de bode

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17. DOMINIO FRECUENCIA – CRITERIO DE BODE
17.1 INTRODUCCION
Las técnicas para analizar la respuesta de un sistema en el dominio de la frecuencia son las más populares para el análisis y diseño del control de sistemas lineales. Se fundamentan en que cuando un sistema es perturbado con una entrada sinusoidal, la respuesta del sistema alcanza una estabilidad también sinusoidal con igualfrecuencia pero diferente amplitud y existiendo una fase entre ellas. A continuación se introducen algunos conceptos derivados de la respuesta seno de un sistema lineal de primer orden y posteriormente se generalizan a otras dinámicas

Respuesta sinusoidal de un sistema de primer orden
Si la variable de entrada de un sistema con atraso de primer orden es perturbada con un cambio sinusoidal de laforma

x (t ) = X o sin wt

(17.1)

La respuesta del sistema en el dominio del tiempo corresponde a la siguiente expresión
KX o wτ −t / τ KX o e + sin(wt + θ ) 2 2 1 + w 2τ 2 1+ w τ

Y (t ) =

(17.2)

Siendo

θ = tan −1 (− wτ ) = − tan −1 ( wτ )

(17.3)

Para un sistema de primer orden con ganancia 5 y constante de tiempo uno, con perturbación sinusoidal en la variable de entradade amplitud 3 y frecuencia igual a 2 rad/sec se obtiene una respuesta como la que se observa en la Figura 17.1. Después de un tiempo la contribución a la respuesta del término exponencial se anula y la respuesta se mantiene en una estabilidad oscilatoria de tipo sinusoidal correspondiente al segundo término de la ecuación (17.2), es decir,

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Figura 17.1. Respuesta Seno de un sistema deprimer orden
KX

Y ( t ) t muy

grande

=

o 2

1 + w 2τ

sin( wt + θ )

(17.4)

La amplitud de esta señal de salida corresponde a la expresión factor del término sinusoidal, es decir,
KX

Yo =

o 2

1 + w 2τ

(17.5)

La “Relación entre las amplitudes” o AR, entre las señales de salida y entrada es un factor de la amplitud de la señal de entrada que permite calcular laamplitud de la señal de salida. Para un sistema de primer orden, la relación de amplitudes se expresa como
Yo K = Xo 1 + w 2τ 2

AR =

(17.6)

Mach

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La “Relación de magnitudes” o MR es la relación entre las amplitudes dividida por la ganancia en estado estacionario, es decir,
AR K

MR =

(17.7)

El “Angulo fase” es la cantidad de radianes o grados de atraso o adelanto de laseñal de salida con respecto a la señal de entrada. Cuando el ángulo fase es positivo expresa un adelanto mientras que cuando es negativo corresponde a un atraso. El ángulo fase se calcula con la ecuación (17.3) Las ecuaciones (17.3), (17.6) y (17.7) muestran que los tres términos, AR, MR y θ, son funciones de la frecuencia de la señal de entrada y dependen de la dinámica del sistema

17.2DINAMICA DE UN SISTEMA - DOMINIO FRECUENCIA
El análisis dinámico de un sistema en el dominio de la frecuencia consiste esencialmente en el estudio de la variación del AR o MR y θ con el cambio en la frecuencia en la señal de entrada Mediante la evaluación de la función de transferencia de un sistema para s = jw , se pueden demostrar las siguientes ecuaciones para AR y θ.
Yo = G ( jw ) Xo θ = ∠ G ( jw) AR =

(17.8) (17.9)

Siendo G ( jw) , la expresión compleja que resulta al evaluar la función de transferencia del sistema para s = jw y que se denomina la Función de Transferencia Sinusoidal del sistema. Las ecuaciones (17.8) y (17.9) expresan que la magnitud de la función de transferencia sinusoidal es igual al AR y su argumento es igual a θ La Tabla 17.1 muestra, para algunas dinámicasde sistemas su función de transferencia y las ecuaciones que calculan sus respectivas razones de amplitudes y ángulos fase
Mach

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Tabla 17.1 Relación de Amplitudes y Fase para Sistemas
Sistema Ganancia Pura Atraso de Primer Orden
G (s )

AR

θ

K

1
K 1+ w τ
2 2

0
tan −1 (− wτ )

K τs + 1
K τ s + 2τζ s + 1
2 2

Atraso de Segundo Orden

K (1 − w 2τ 2 ) 2 + ( 2τζ w...