BODE

ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA

1.1 RESPUESTA A UNA ENTRADA SINUSOIDAL
La respuesta en frecuencia de un sistema se define cono la respuesta del sistema en estado estacionario a una señal sinusoidal de entrada.
Considere un sistema (ver Figura ) que es estable, al cual le aplicamos una entrada sinusoidal , vamos a demostrar que la salida será también una función sinusoidal con la mismafrecuencia , luego del transitorio inicial (o sea cuando t tiende a infinito).

Figura . Respuesta en Frecuencia
Demostración:
Si la entrada a la planta tiene la forma , su transformada de Laplace es:

Entonces la salida de la planta será con condiciones iniciales cero,

Usando expansión en fracciones simples,

con,

Si todos los polos de tienen parte real negativa, sus respuestastenderán a cero cuando el tiempo t tienda a infinito. Entonces, la respuesta estacionaria del sistema debido a la entrada sinusoidal será:

Expresando en su forma polar: .
Si tiene todos los coeficientes reales, entonces es una función par (o sea ); y es una función impar (o sea ). Entonces,

Por lo tanto, en un sistema LTI: si la entrada es una sinusoide, la salida de régimen permanente esuna sinusoide de la misma frecuencia pero de amplitud y fase diferentes. El sistema amplifica o atenúa en función de la frecuencia de la señal de entrada.
La respuesta de régimen permanente depende de la magnitud y la fase de a la frecuencia especifica . Note que la respuesta de estado estable, es válida solo para sistemas estables. La función de transferencia que representa el comportamientodel sistema en régimen permanente ante una entrada sinusoidal, es una función de la variable compleja , por lo tanto la magnitud y la fase de se puede obtener gráficamente evaluando esta función a frecuencias especificas a lo largo del eje en el plano s.
Considere el siguiente sistema con dos polos reales representado en el plano s (Figura ),


Figura . Evaluación de en el plano s
Lamagnitud y la fase de pueden ser evaluadas para una frecuencia específica, , en el eje , como se muestra en la Figura . La magnitud y la fase respectivamente son,


Los diagramas logarítmicos de Bode simplifican el cálculo anterior y permiten obtener las gráficas de magnitud y fase de la respuesta en frecuencia

1.2 EL DIAGRAMA DE BODE
Los diagramas de Bode permiten representar el comportamientodinámico de una planta. Consta de dos gráficas, una para la amplitud de salida y otra para el desfase de salida. Se los denominará respectivamente diagrama de ganancias o magnitud y diagrama de fases.
Expresando en el dominio de la frecuencia,

El logaritmo de la magnitud es expresado normalmente en términos del logaritmo base 10 y la unidad utilizada es el dB (decibelios).

La ganancialogarítmica y el ángulo pueden ser graficados contra la frecuencia . Los dos diagramas representan las frecuencias de forma logarítmica en el eje de abscisas en rad/s. El diagrama de magnitud representa en el eje de ordenadas la amplitud de la señal de salida en dB. El diagrama de fase representa en el eje de ordenadas el desfase de la señal de salida en grados.
Supongamos una función detransferencia descrita por un cero y dos polos.

Evaluemos con /(,

La magnitud en dB será,

Por lo tanto,

Y la fase es:

Por lo tanto para realizar el diagrama Bode de basta conocer como son las respuestas de cada uno de sus polos y ceros, pues luego se suman directamente. Estudiemos entonces los cuatro factores que se pueden encontrar en una función de transferencia:
i. Ganancia constante Kii. Polos o ceros en el origen
iii. Polos o ceros en el eje real
iv. Polos o ceros complejos conjugados.

1.2.1 Ganancia
Si , su gráfica de bode de magnitud es una línea recta constante que no varía según la frecuencia y la fase es 0° para toda frecuencia. Así,

En la Figura presenta el correspondiente diagrama para el caso de , por lo tanto.

Figura . Diagrama de Bode de
Si es...