boletin problemas 4

Ejercicios resueltos
Bolet´ın 4
Movimiento ondulatorio

Ejercicio 1
La nota musical la tiene una frecuencia, por convenio internacional de 440 Hz. Si en
el aire se propaga con una velocidad de 340 m/s y en el agua lo hace a 1400 m/s, calcula
su longitud de onda en esos medios.

Soluci´
on 1
La frecuencia es una caracter´ıstica del centro emisor. Por tanto es la misma en todos
los medios.
340vaire
=
= 0,773 m
λaire =
ν
400
vagua
1400
λagua =
=
= 3,27 m
ν
400

Ejercicio 2
La ecuaci´on de una onda, en unidades del S.I., que se propaga por una cuerda es:
y(x, t) = 0,05 cos 2 π (4 t − 2 x)
1. Determina las magnitudes caracter´ısticas de la onda (amplitud, frecuencia angular,
n´
umero de onda, longitud de onda, frecuencia, periodo, velocidad de propagaci´on)
2. Deduce las expresiones generalesde la velocidad y aceleraci´on transversal de un
elemento de la cuerda y sus valores m´aximos.
3. Determina los valores de la elongaci´on, velocidad y aceleraci´on de un punto situado
a 1 m del origen en el instante t = 3 s

Soluci´
on 2
1. Operando en la expresi´on de la onda: y(x, t) = 0,05 cos(8 π t − 4 π x) y comparando
con la expresi´on general: y(x, t) = A cos(ω t − k x) se tiene que:Amplitud: A = 0,05 m;
1

frecuencia angular: ω = 8 π rad/s;
n´
umero de onda: k = 4 π rad/m;
2π
2π
=
= 0,5 m;
longitud de onda: λ =
k
4π
ω
8π
frecuencia: ν =
=
= 4 Hz;
2π
2π
1
1
periodo: T = = = 0,25 s;
ν
4
ω
8π
velocidad de propagaci´on: v = λ ν = = 0,5 · 4 =
= 2 m/s
k
4π
2. Velocidad de vibraci´on:
v=

dy
= −0,4 π sin 2 π (4 t − 2 x) m/s ⇒ vm´ax = 0,4 π m/s
dt

Aceleraci´on de vibraci´on:
a=

dv
=−3,2 π 2 cos 2 π (4 t − 2 x) m/s2 ⇒ am´ax = 3,2 π 2 m/s2
dt

3. Para calcular la elongaci´on, velocidad y aceleraci´on del punto considerado en el
instante indicado, basta sustituir sus valores en las ecuaciones generales correspondientes.
y(x = 1, t = 3) = 0,05 cos 2 π (4 · 3 − 2 · 1) = 0,05 m
El punto se encuentra en su m´axima separaci´on central y hacia la parte positiva.
v(x = 1, t = 3) = −0,4 πsin 2 π (4 · 3 − 2 · 1) = 0 m/s
El punto est´a en un extremo de la vibraci´on y por ello su velocidad es igual a cero.
a(x = 1, t = 3) = −3,2 π 2 cos 2 π (4 · 3 − 2 · 1) = −3,2 π 2 m/s2
Al estar el punto en el extremo positivo de la vibraci´on, la aceleraci´on es m´axima y
de sentido negativo, se dirige hacia el centro de la oscilaci´on.

Ejercicio 3
Se agita el extremo de una cuerda con unafrecuencia de 2 Hz y una amplitud de
3 cm. Si la perturbaci´on se propaga con una velocidad de 0,5 m/s, escribe la expresi´on
que representa el movimiento por la cuerda.

2

Soluci´
on 3
La frecuencia angular es: ω = 2 π ν = 4 π rad/s
2π
2π
2π
El n´
umero de onda es: k =
=
=
= 8 π m−1
λ
v/ν
0,5/2
La expresi´on pedida es:
y = A cos(ω t − k x) = 0,03 cos(4 π t − 8 π x)
Operando:
y = 0,03 cos 4 π(t − 2x)

Ejercicio 4
Un foco genera ondas de 2 mm de amplitud con una frecuencia de 250 Hz, que se
propagan por un medio con una velocidad de 250 m/s. Determina el periodo y la longitud
de onda de la perturbaci´on. Si en el instante inicial la elongaci´on de un punto situado a
3 m del foco es y = −2 mm, determina la elongaci´on de un punto situado a 2,75 m del
foco en el mismo instante.

Soluci´
on 41
1
=
= 4 · 10−3 s; frecuencia angular: ω = 2 π ν = 500 π rad/s;
ν
250
250
2π
v
= 1 m; n´
umero de onda: k =
= 2 π m−1
longitud de onda: λ = =
ν
250
λ
En este caso y como los datos de vibraci´on no son los del foco, debe introducirse una
fase inicial ϕ0 que se determina con las condiciones de vibraci´on del punto x = 3 m.
Periodo: T =

y = A cos(ω t − k x + ϕ0 ) = 2 · 10−3 cos(500 π t − 2 π x + ϕ0)
Operando:
y = 2 · 10−3 cos[2 π(250 t − x) + ϕ0 ]
Sustituyendo los datos de vibraci´on del punto consideradom, resulta que:
y(x = 3, t = 0) = 2 · 10−3 cos[2 π(250 · 0 − 3) + ϕ0 ] = −2 · 10−3 m ⇒ cos(−6 π + ϕ0 ) = −1
Por lo que la fase inicial es: ϕ0 = π rad
La ecuaci´on general de la onda es:
y = 2 · 10−3 cos[2 π(250 t − x) + π]
La elongaci´on del punto x = 2,75 m en el instante pedido es:...