Bono

La hipótesis lognormal del modelo de Black –
Scholes
Estrella Perotti
Investigador Senior

Bolsa de Comercio de Rosario
eperotti@bcr.com.ar

El modelo de BS se basa en el supuesto de que los precios de las acciones siguen lo
que se conoce como distribución lognormal.
Mientras que una variable con distribución normal puede tomar valor positivo o
negativo, una variable distribuidalognormalmente sólo puede ser positiva, con media,
moda y mediana todas diferentes.
En las siguientes páginas trataremos de demostrar la hipótesis de log-normalidad de
los precios de las acciones.

1. Nociones preliminares
Es razonable pensar que los precios de un activo subyacente se distribuyen de
manera normal?. Más allá de la exacta distribución de los precios en el mundo real, el
supuestode la distribución normal tiene serios defectos. Una curva de distribución
normal es simétrica, por lo cual, bajo el supuesto de la normalidad, para todo posible
incremento abrupto de precios en el activo subyacente existe la posibilidad de una
caída en los mismos de igual magnitud. Es decir que, si por ejemplo permitimos la
posibilidad de que cuando el activo subyacente vale $50 éste puedaincrementarse en
$75 a $125, también tendríamos que permitir la posibilidad de que los precios cayeran
en igual magnitud a - $25. Como todos sabemos es imposible que un activo adquiera
un valor negativo, por lo que suponer que los mismos se distribuyen normalmente es
una grave falencia1.
Qué podríamos hacer entonces al respecto?. Si definimos volatilidad como el
porcentaje de cambio en losprecios de un activo subyacente, tasa de interés y
volatilidad pueden considerarse similares en términos de que ambos representan
tasas de retorno. La primer diferencia entre la tasa de interés y la volatilidad es que el
interés generalmente acumula una tasa positiva mientras que la volatilidad representa
una combinación de retornos positivos y negativos. Si invertimos unas suma de dinero
a unatasa fija, el valor del principal siempre se incrementará, pero si invertimos en un
activo subyacente con una volatilidad distinta de cero, el precio del instrumento puede
subir o bajar. La volatilidad, definida como desvío estándar, no nos dice nada acerca
de la dirección que tomarán los movimientos de precios. De la misma manera que el
1

Extraído de Natenberg Sheldon – Option, Volatility &Pricing.

1

interés, la volatilidad puede calcularse a diferentes intervalos. Con el propósito de
valuar teóricamente las opciones, se asume que la volatilidad se calcula de manera
continua (de la misma manera en que se dan los cambios en el precio del activo
subyacente).
Cuando se asume que los cambios en los precios se distribuyen normalmente, el
calculo continuo de estos cambioscausan que los precios al vencimiento se
distribuyan log - normalmente2. Tal distribución es simétrica a la derecha, debido a que
los incrementos de precios resultan de tasas de retornos positivas cada vez más
grandes.

2. La log-normalidad en el precio de las acciones
“Una variable tiene distribución lognormal si el logaritmo natural de la variable se
distribuye normalmente”.
Los parámetrosclaves que describen el comportamiento del precio de las acciones
cuando se hace una hipótesis lognormal son:
1. el rendimiento esperado de las acciones
2. la volatilidad del precio de las acciones
La rentabilidad esperada es la rentabilidad media anual obtenida por los inversores en
un período de tiempo corto. Llamaremos a ésta µ. La volatilidad es la medida de
nuestra incertidumbre sobrelos movimientos futuros del precio de las acciones, es
decir, es la medida de nuestra incertidumbre sobre los cambios proporcionales del
precio de las acciones. Llamaremos a la volatilidad σ.
La hipótesis lognormal para los precios de las acciones implica, por lo tanto, que lnST
es normal, donde ST es el precio de las acciones en un tiempo futuro T. Puede
demostrarse que la media y la...