Bootstrap BB
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Publicado: 7 de octubre de 2015
La Técnica Bootstrap
La técnica bootstrap proporciona estimaciones del error estadístico, imponiendo escasas restricciones sobre las variables aleatorias analizadas y estableciéndose como un procedimiento de carácter general, independientemente del estadístico considerado.
Fundamentos de la técnica bootstrap
Sea θ(F) un parámetro dependiente de una función de distribución F desconocida y, porotro lado, considérense las variables aleatoriastales que,
o sea, son variables aleatorias con función de distribución idéntica e independiente. Por otro lado, representaremos mediante el conjunto una muestra correspondiente a extracciones aleatorias sobre las referidas variables.
Nótese que los valores correspondientes a la muestra nos permiten obtener la distribución empírica , queconstituye la estimación no paramétrica de maxima verosimilitud de la funcion de distribución F. En apoyo de esta estimación, podemos referirnos al Teorema de Glivenko-Cantelli, que establece una convergencia casi segura, cuando, entre las distribuciones y F, aunque debe notarse que es una convergencia asintótica.
Por tanto, es factible establecer significando que la funcion de distribución de lavariable aleatoria de interés se estima a partir de la distribución empírica, constituyendo el aspecto fundamental del denominado Bootstrap no paramétrico.
En ocasiones, el investigador conoce la función de distribución correspondiente a la variable aleatoria objeto de estudio, aunque se desconozcan los parámetros de la misma, punto que nos conduce al Bootstrap paramétrico. Supongamos que esun estimador de θ, siendo éste un parametro o vector de parametros de F, obteniéndose a partir de datos muestrales extraídos de la función de distribución F, que depende del parámetro θ, por lo cual puede expresarse . Estimado el parametro o vector de parametros, podemos recurrir a la estimación .
Remuestreo mediante Monte Carlo y muestras bootstrap
Aunque la técnica Monte Carlo no puedeconsiderarse un elemento inherente a la estrategia bootstrap, es preciso realizar una breve mención en la medida de su relevancia como técnica para obtener muestras aleatorias, extraídas a partir de un conjunto inicial de datos (remuestreo) o correspondientes a realizaciones de variables aleatorias cuya función de distribución de probabilidad ha sido prefijada (simulación de variables estocásticas).En concreto, dado que la técnica bootstrap genera diferentes muestras a partir de la muestra de datos recogida por el investigador (muestra original), e, independientemente de si se ha optado por un bootstrap paramétrico o no paramétrico, es necesaria una estrategia para garantizar el remuestreo aleatorio, punto éste en el cual puede apreciarse el nexo entre la estrategia bootstrap y la técnicaMonte Carlo. La técnica Monte Carlo requiere la especificación de una función de distribución de probabilidad F(X), evidentemente, siendo conocidos sus parámetros o, en algún caso, estimados.
Las técnicas de remuestreo se caracterizan por la obtención de submuestras a partir de los datos que constituyen la muestra original, permitiendo evaluar diferentes propiedades de los estimadores. En estesentido, la técnica bootstrap debe ser considerada como un plan de remuestreo, posibilitando estudiar el error estadístico, ya sea en cuanto a sesgo, error estándar o tasa de error en una predicción. Ahora bien, la forma en la cual la estrategia bootstrap realiza el remuestreo queda sintetizada en los siguientes pasos, englobados dentro del proceso de estimación bootstrap:
*El investigador seleccionaun estadístico de interés, sea (media, mediana, correlación, etc.).
*Se obtiene una muestra correspondiente a la realización de n variables aleatorias idéntica e independientemente distribuidas (puede conceptualizarse como n realizaciones de una variable aleatoria, sin pérdida de generalidad). Representaremos esta muestra original mediante .
*El investigador debe decidir como estimara la...
La técnica bootstrap proporciona estimaciones del error estadístico, imponiendo escasas restricciones sobre las variables aleatorias analizadas y estableciéndose como un procedimiento de carácter general, independientemente del estadístico considerado.
Fundamentos de la técnica bootstrap
Sea θ(F) un parámetro dependiente de una función de distribución F desconocida y, porotro lado, considérense las variables aleatoriastales que,
o sea, son variables aleatorias con función de distribución idéntica e independiente. Por otro lado, representaremos mediante el conjunto una muestra correspondiente a extracciones aleatorias sobre las referidas variables.
Nótese que los valores correspondientes a la muestra nos permiten obtener la distribución empírica , queconstituye la estimación no paramétrica de maxima verosimilitud de la funcion de distribución F. En apoyo de esta estimación, podemos referirnos al Teorema de Glivenko-Cantelli, que establece una convergencia casi segura, cuando, entre las distribuciones y F, aunque debe notarse que es una convergencia asintótica.
Por tanto, es factible establecer significando que la funcion de distribución de lavariable aleatoria de interés se estima a partir de la distribución empírica, constituyendo el aspecto fundamental del denominado Bootstrap no paramétrico.
En ocasiones, el investigador conoce la función de distribución correspondiente a la variable aleatoria objeto de estudio, aunque se desconozcan los parámetros de la misma, punto que nos conduce al Bootstrap paramétrico. Supongamos que esun estimador de θ, siendo éste un parametro o vector de parametros de F, obteniéndose a partir de datos muestrales extraídos de la función de distribución F, que depende del parámetro θ, por lo cual puede expresarse . Estimado el parametro o vector de parametros, podemos recurrir a la estimación .
Remuestreo mediante Monte Carlo y muestras bootstrap
Aunque la técnica Monte Carlo no puedeconsiderarse un elemento inherente a la estrategia bootstrap, es preciso realizar una breve mención en la medida de su relevancia como técnica para obtener muestras aleatorias, extraídas a partir de un conjunto inicial de datos (remuestreo) o correspondientes a realizaciones de variables aleatorias cuya función de distribución de probabilidad ha sido prefijada (simulación de variables estocásticas).En concreto, dado que la técnica bootstrap genera diferentes muestras a partir de la muestra de datos recogida por el investigador (muestra original), e, independientemente de si se ha optado por un bootstrap paramétrico o no paramétrico, es necesaria una estrategia para garantizar el remuestreo aleatorio, punto éste en el cual puede apreciarse el nexo entre la estrategia bootstrap y la técnicaMonte Carlo. La técnica Monte Carlo requiere la especificación de una función de distribución de probabilidad F(X), evidentemente, siendo conocidos sus parámetros o, en algún caso, estimados.
Las técnicas de remuestreo se caracterizan por la obtención de submuestras a partir de los datos que constituyen la muestra original, permitiendo evaluar diferentes propiedades de los estimadores. En estesentido, la técnica bootstrap debe ser considerada como un plan de remuestreo, posibilitando estudiar el error estadístico, ya sea en cuanto a sesgo, error estándar o tasa de error en una predicción. Ahora bien, la forma en la cual la estrategia bootstrap realiza el remuestreo queda sintetizada en los siguientes pasos, englobados dentro del proceso de estimación bootstrap:
*El investigador seleccionaun estadístico de interés, sea (media, mediana, correlación, etc.).
*Se obtiene una muestra correspondiente a la realización de n variables aleatorias idéntica e independientemente distribuidas (puede conceptualizarse como n realizaciones de una variable aleatoria, sin pérdida de generalidad). Representaremos esta muestra original mediante .
*El investigador debe decidir como estimara la...
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