borre
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Publicado: 9 de junio de 2014
La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de losnúmeros reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a lafunción inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma
E(x)=K \cdot a^x
siendo a, K ∈ Rnúmeros reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.
Propiedades
La función exponencial (y exponenciales en basedistinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales.
Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta ae)
\exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y)
\exp(x-y) = \exp(x) / \exp(y) \,
\exp(-x) = {1 \over \exp(x)}
\exp(0) = 1 \,
Función exponencial compleja1
Gráfico de la parte realde una función exponencial en el campo de los complejos
z=\operatorname{Re} \left (\exp \left( x + i y \right)\right)
Como en el caso real, la función exponencial puede ser definida como unafunción holomorfa en el plano complejo de diferentes maneras. Algunas de ellas son simples extensiones de las fórmulas que se utilizan para definirla en el dominio de los números reales. Específicamente,la forma más usual de definirla para el dominio de los números complejos es mediante la serie de potencias, donde el valor real x se sustituye por la variable compleja z:
e^z = \sum_{n =0}^{\infty} {z^n \over n!}
para valores imaginarios puros se cumple la identidad
e^{i \cdot t} = \cos t + i \cdot \sin t,
en el que un caso particular es la identidad de Euler, conocida...
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma
E(x)=K \cdot a^x
siendo a, K ∈ Rnúmeros reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.
Propiedades
La función exponencial (y exponenciales en basedistinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales.
Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta ae)
\exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y)
\exp(x-y) = \exp(x) / \exp(y) \,
\exp(-x) = {1 \over \exp(x)}
\exp(0) = 1 \,
Función exponencial compleja1
Gráfico de la parte realde una función exponencial en el campo de los complejos
z=\operatorname{Re} \left (\exp \left( x + i y \right)\right)
Como en el caso real, la función exponencial puede ser definida como unafunción holomorfa en el plano complejo de diferentes maneras. Algunas de ellas son simples extensiones de las fórmulas que se utilizan para definirla en el dominio de los números reales. Específicamente,la forma más usual de definirla para el dominio de los números complejos es mediante la serie de potencias, donde el valor real x se sustituye por la variable compleja z:
e^z = \sum_{n =0}^{\infty} {z^n \over n!}
para valores imaginarios puros se cumple la identidad
e^{i \cdot t} = \cos t + i \cdot \sin t,
en el que un caso particular es la identidad de Euler, conocida...
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