braulio

Se dice que una función y=f(x) tiene límite "l" cuando la x tiende a "a" y lo representamos por:
Cuando para toda sucesión de números reales que se aproxime a "a" tanto como queramos, los valorescorrespondientes de f(x) se aproximan a "l" tanto como queramos. ("tanto como queramos" es una expresión que nos indica que la aproximación será tanto mayor cuantos más elementos tomemos de lasucesión).
Ejemplo 1:
Consideremos la función  y tratemos de calcular su límite cuando x tiende a 2. Tomamos la sucesión an = {1-1,9-1,99-1,999-1,9999-....} y veamos a qué valor se aproxima f(an), para elloconstruimos la siguiente tabla:
an
1
1,9
1,99
1,999
1,9999
1,99999
1,999999
.....
2
f(an)
-2
-29
-299
-2999
-29999
-299999
-2999999
.....

Parece que los valores de la función seaproximan, tanto como  queramos a menos infinito, pero nos  preguntamos ¿Qué ocurriría si la sucesión elegida fuese decreciente, en lugar de creciente, veámoslo:
an
3
2,1
2,01
2,001
2,00012,00001
2.000001
....
2
f(an)
4
31
301
3001
30001
300001
3000001
....

 Ahora los valores se aproximan a más infinito.
 Es decir, si la sucesión tiende a 2 pero conservándose todos sustérminos menores que 2, la función tiende a un límite y si los valores de la sucesión se conservan todos mayores que dos la función tiende a otro distinto. Afirmamos que no existe límite en el punto 2 parala función dada.
Ejemplo 2
Calcular el límite
proceder como antes con una sucesión creciente y otra decreciente que se aproximen ambas a 3 tanto como queramos:
an
2,1
2,9
2,99
2,999
2,99992,99999
2,999999
....
3
f(an)
31
4,3333
4,0303
4,0030
4,0003
4,00003
4,000003
....
4
 Y para una decreciente:
an
4
3,1
3,01
3,001
3,0001
3,00001
3,000001
....
3
f(an)
2,53,7272
3,9703
3,9970
3,9997
3,99997
3,999997
....
4
Como los valores que toma la función para ambas sucesiones tienden al mismo valor 4, podemos escribir:

conclusiones:
¨      ¨       ...