Bruja De Agnesi

Bruja de Agnesi
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La Bruja de Agnesi, con sus puntos principales. |
A partir de una circunferencia, y un punto cualquiera O de la circunferencia, siendo T el punto diametralmente opuesto a O.Para cualquier otro punto A de la circunferencia, la prolongación de la línea secante OA corta a la perpendicular a OT que pasa por T en B. La línea paralela a OT que pasa por B, y la líneaperpendicular a OT que pasa por A se cortan en P. Tomando como variable el punto A se define la curva de los puntos P es el de bruja.
Ecuación cartesiana
Tomando el punto O como origen de coordenada, y que Ten el lado positivo del eje y, y tomando como radio de la circunferencia el valor a.

Según la figura tenemos las siguientes ecuaciones, por la definición de tangente en el triángulo OAE rectánguloen E y el triángulo OBD rectángulo en D, Semejantes entre sí:

En el triángulo ACF rectángulo en F, y por el teorema de Pitágoras, tenemos que

Podemos ver también las siguientes igualdades:Que se puede resumir en las relaciones:

Partiendo de las ecuaciones deducimos:

Elevando la ecuación al cuadrado tenemos:

Operando con la expresión tendremos que:

Que invirtiendo lafracción y simplificando dará como resultado:

Entonces la curva tiene por ecuación cartesiana:

Nota: si tomamos a a=1/2, entonces la ecuación toma una forma muy sencilla:

Ecuación paramétricaParamétricamente, si es el ángulo entre OD y OB, o lo que es lo mismo entre OE y OA, medido en sentido trigonométrico, entonces la curva se define por las ecuaciones:
Partiendo, al igual que en laecuación cartesiana, de:

Primero despejaremos la x respecto de :

Con lo que fácilmente se puede ver, que:

Ahora despejaremos la y respecto de , partiendo de:

Sabiendo que:

Tendremos:Elevando esta expresión al cuadrado, tendremos:

Operando con la expresión:

Sabiendo que:

Tendremos:

Estas ecuaciones dependen del ángulo y de la correspondiente función trigonométrica,...