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Publicado: 19 de abril de 2013
Teoría de matrices
Una matriz es una tabla rectangular de números. Una de las principales aplicaciones de las matrices es la representación de sistemas de ecuaciones de primer grado con varias incógnitas. Cada fila de la matriz representa una ecuación, siendo los valores de una fila los coeficientes de las distintas variables de la ecuación, en determinado orden.
Una matriz se representanormalmente entre paréntesis o corchetes:
En las matrices anteriores, a, b y c son números cualesquiera. Para delimitar la matriz, en vez de paréntesis, se pueden utilizar también corchetes.
Las líneas horizontales, denominadas filas, se numeran de arriba a abajo; las líneas verticales, o columnas, se numeran de izquierda a derecha. Utilizando esta notación, el elemento de la segunda fila ytercera columna de M1 es -1. Tanto a las filas como a las columnas se las denomina líneas.
El tamaño de una matriz está dado por el número de filas y el de columnas en este orden, así M1, M2, M3 y M4 son de tamaño 3 × 3 (3 por 3), 3 × 3, 3 × 2 y 2 × 3 respectivamente. Los elementos de una matriz general de tamaño m × n se representan normalmente utilizando un doble subíndice; el primer subíndice, i,indica el número de fila y el segundo, j, el número de columna. Así pues, el elemento a23 está en la segunda fila, tercera columna. La matriz general
se puede representar de forma abreviada como A = (aij), en donde los posibles valores de los índices i = 1, 2,..., m y j = 1, 2,..., n se han de dar explícitamente si no se sobrentienden. Si m = n, la matriz es cuadrada y el número de filas (ocolumnas) es el orden de la matriz. Dos matrices A = (aij) y B = (bij), son iguales si y sólo si son de igual tamaño y si para todo i y j, aij = bij. Si A = (aij) es una matriz cuadrada, los elementos a11, a22, a33,... forman la diagonal principal de la matriz. La matriz traspuesta AT de una matriz A es otra matriz en la cual la fila i es la columna i de A, y la columna j es la fila j de A. Porejemplo, tomando la matriz M3 anterior,
es la matriz traspuesta de M3.
La adición y la multiplicación de matrices están definidas de manera que ciertos conjuntos de matrices forman sistemas algebraicos. Consideremos los elementos de las matrices números reales cualesquiera. La matriz cero es aquélla en la que todos los elementos son 0; la matriz unidad Im de orden m, es una matriz cuadrada de ordenm en la cual todos los elementos son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. El orden de la matriz unidad se puede omitir si se sobrentiende con el resto de la expresión, con lo que Im se escribe simplemente I.
La suma de dos matrices sólo está definida si ambas tienen el mismo tamaño. Si A = (aij) y B = (bij) tienen igual tamaño, entonces la suma C = A + B se define como la matriz(cij), en la que cij = aij + bij, es decir, para sumar dos matrices de igual tamaño basta con sumar los elementos correspondientes. Así, para las matrices mencionadas anteriormente
En el conjunto de todas las matrices de un determinado tamaño la adición tiene las propiedades uniforme, asociativa y conmutativa. Además hay una matriz única O tal que para cualquier matriz A, se cumple A + O = O+ A = A y una matriz única B tal que A + B = B + A = O.
El producto AB de dos matrices, A y B, está definido sólo si el número de columnas del factor izquierdo, A, es igual al número de filas del factor derecho, B; si A = (aij) es de tamaño m × n y B = (bjk) es de tamaño n × p, el producto AB = C = (cik) es de tamaño m × p, y cik está dado por
es decir, el elemento de la fila i y la columna kdel producto es la suma de los productos de cada uno de los elementos de la fila i del factor izquierdo multiplicado por el correspondiente elemento de la columna k del factor derecho.
Determinantes
1
INTRODUCCIÓN
Determinante, notación matemática formada por una tabla cuadrada de números, u otros elementos, entre dos líneas verticales; el valor de la expresión se calcula mediante su...
Una matriz es una tabla rectangular de números. Una de las principales aplicaciones de las matrices es la representación de sistemas de ecuaciones de primer grado con varias incógnitas. Cada fila de la matriz representa una ecuación, siendo los valores de una fila los coeficientes de las distintas variables de la ecuación, en determinado orden.
Una matriz se representanormalmente entre paréntesis o corchetes:
En las matrices anteriores, a, b y c son números cualesquiera. Para delimitar la matriz, en vez de paréntesis, se pueden utilizar también corchetes.
Las líneas horizontales, denominadas filas, se numeran de arriba a abajo; las líneas verticales, o columnas, se numeran de izquierda a derecha. Utilizando esta notación, el elemento de la segunda fila ytercera columna de M1 es -1. Tanto a las filas como a las columnas se las denomina líneas.
El tamaño de una matriz está dado por el número de filas y el de columnas en este orden, así M1, M2, M3 y M4 son de tamaño 3 × 3 (3 por 3), 3 × 3, 3 × 2 y 2 × 3 respectivamente. Los elementos de una matriz general de tamaño m × n se representan normalmente utilizando un doble subíndice; el primer subíndice, i,indica el número de fila y el segundo, j, el número de columna. Así pues, el elemento a23 está en la segunda fila, tercera columna. La matriz general
se puede representar de forma abreviada como A = (aij), en donde los posibles valores de los índices i = 1, 2,..., m y j = 1, 2,..., n se han de dar explícitamente si no se sobrentienden. Si m = n, la matriz es cuadrada y el número de filas (ocolumnas) es el orden de la matriz. Dos matrices A = (aij) y B = (bij), son iguales si y sólo si son de igual tamaño y si para todo i y j, aij = bij. Si A = (aij) es una matriz cuadrada, los elementos a11, a22, a33,... forman la diagonal principal de la matriz. La matriz traspuesta AT de una matriz A es otra matriz en la cual la fila i es la columna i de A, y la columna j es la fila j de A. Porejemplo, tomando la matriz M3 anterior,
es la matriz traspuesta de M3.
La adición y la multiplicación de matrices están definidas de manera que ciertos conjuntos de matrices forman sistemas algebraicos. Consideremos los elementos de las matrices números reales cualesquiera. La matriz cero es aquélla en la que todos los elementos son 0; la matriz unidad Im de orden m, es una matriz cuadrada de ordenm en la cual todos los elementos son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. El orden de la matriz unidad se puede omitir si se sobrentiende con el resto de la expresión, con lo que Im se escribe simplemente I.
La suma de dos matrices sólo está definida si ambas tienen el mismo tamaño. Si A = (aij) y B = (bij) tienen igual tamaño, entonces la suma C = A + B se define como la matriz(cij), en la que cij = aij + bij, es decir, para sumar dos matrices de igual tamaño basta con sumar los elementos correspondientes. Así, para las matrices mencionadas anteriormente
En el conjunto de todas las matrices de un determinado tamaño la adición tiene las propiedades uniforme, asociativa y conmutativa. Además hay una matriz única O tal que para cualquier matriz A, se cumple A + O = O+ A = A y una matriz única B tal que A + B = B + A = O.
El producto AB de dos matrices, A y B, está definido sólo si el número de columnas del factor izquierdo, A, es igual al número de filas del factor derecho, B; si A = (aij) es de tamaño m × n y B = (bjk) es de tamaño n × p, el producto AB = C = (cik) es de tamaño m × p, y cik está dado por
es decir, el elemento de la fila i y la columna kdel producto es la suma de los productos de cada uno de los elementos de la fila i del factor izquierdo multiplicado por el correspondiente elemento de la columna k del factor derecho.
Determinantes
1
INTRODUCCIÓN
Determinante, notación matemática formada por una tabla cuadrada de números, u otros elementos, entre dos líneas verticales; el valor de la expresión se calcula mediante su...
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