bueno para aprender

Matrices
Ciencia y Tecnolog´ıa de los Alimentos
14 de noviembre de 2014

1.

Introducci´on
En este seminario vamos a practicar propiedades y operaciones con matrices.

2.

Ejercicios

Ejercicio 1 Hallar las matrices A y B sabiendo que
2A + B =

3 3 5
−1 2 0

y − A + 3B =

4 0 1
0 5 2

.



4 1 −1
Ejercicio 2
1. Resolver la ecuaci´on matricial XA + C = X donde A =2 2 0  y C =
1 2 5


4 −2 1
0 0
7 .
5 −3 −1
2. Resolver la ecuaci´on matricial AX + B = C donde A =

1 3
4 0
,B=
yC=
−5 2
1 −3

−1 −2
.
6 −3


2 1 1
1 3 9
3. Resolver la ecuaci´on matricial XA = B − X siendo A = 1 2 1 y B =
.
1 1 1
1 1 2
4. Resolver la ecuaci´on matricial BX + A = X si A =
1

−1 0 1
1 1
yB=
0 2 −3
1 0

5. Resolver

1
C = 3
5

12 −1
1 2
la ecuaci´on matricial AT + X T B = C siendo A =
yB=
y
0 1 0
3 4

2
4
6

Ejercicio 3 Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo tama˜no. Probar que la igualdad
AB = BA es equivalente a cualquiera de las siguientes condiciones:
1. (A + B)(A − B) = (A − B)(A + B).
2. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 .
3. AT BT = BT AT .
Soluci´on: 1) Calculemos primero (A + B)(A − B). Por lapropiedad distributiva (A + B)(A −
B) = AA − AB + BA − BB. An´alogamente (A − B)(A + B) = AA + AB − BA − BB. Por tanto
(A + B)(A − B) = (A − B)(A + B), si, y solo si −AB + BA = AB − BA, es decir si y solo si
2BA = 2AB, lo que ocurre si, y solo si AB = BA.
Ejercicio 4 Sean X, Y , A y B matrices del mismo tama˜no. Obtener X e Y en funci´on de A y B,
en los siguientes casos:
1.

2X + 3Y = A
6X− 3Y = B

2.

X + 5Y = 2A
−2X + 3Y = B

Ejercicio 5 Resolver el sistema
X + AY = B
XT + Y TC = D
siendo
A=

2 3
1 1

, B=

1 0
0 1

, C=

4 2
1 1

0 1
1 0

y D=

.

Ejercicio 6 Calcular A, A2 , B, B2 , AB y BA sabiendo que
A+B =

3 2
1 2

y

2A − B =

1 0
0 1

.

Ejercicio 7 Sean A y B dos matrices cuadradas de tama˜no n × n que conmutan. Probar que1. (A + B)n = ∑nk=0 (nk)An−k Bk .
2. (A − B)n = ∑nk=0 (−1)k (nk)An−k Bk .
Ejercicio 8 Dada una matriz cuadrada A se pide:
2

1. Probar que A + AT es sim´etrica.
2. Probar que A − AT es antisim´etrica.
3. Descomponer A como suma de una matriz sim´etrica y de una antisim´etrica.


2
3 1
4. Si A =  0 −1 2  descomponerla en suma de una matriz sim´etrica y una antisim´etri1
0 1
ca.Soluci´on: 1) Para comprobar que A + AT es sim´etrica calculamos su traspuesta (A + AT )T =
AT + (AT )T = AT + A = A + AT , y vemos que coinciden.
2) Para comprobar que A − AT es antisim´etrica calculamos su traspuesta (A − AT )T = AT −
(AT )T = AT − A = −(A − AT ), y vemos que tienen signos opuestos.
3) Obviamente A = 21 (A + AT ) + 21 (A − AT ), es decir suma de una matriz sim´etrica y unaantisim´etrica. M´as interesante es comprobar que no hay otra forma de hacer esta descomposici´on.
En efecto, supongamos que S es sim´etrica, que T es antisim´etrica y que A = S + T , entonces,
transponiendo AT = (S + T )T = ST + T T = S − T . Sumando ambas igualdades A + AT = 2S, de
donde S = 12 (A + AT ), y rest´andolas A − AT = 2T , de donde T = 21 (A − AT ).
Ejercicio 9 Decir si son ciertaslas siguientes afirmaciones:
1. Si A y B son matrices sim´etricas, entonces AB es sim´etrica.
2. Si A es una matriz cualquiera, entonces AT A y AAT son sim´etricas.
3. Si A es una matriz antisim´etrica, entonces A2 es sim´etrica.
4. Si A es una matriz antisim´etrica y B es sim´etrica, entonces AB es antisim´etrica si, y solo si
A y B conmutan.
Soluci´on: 2) Para comprobar que AT A essim´etrica calculamos su transpuesta

(AT A)T = AT (AT )T = AT A
El otro caso es an´alogo.
3) Si A es antisim´etrica (A2 )T = (AA)T = AT AT = (−A)(−A) = A2 .
4) Si A es antisim´etrica y B es sim´etrica, entonces (AB)T = BT AT = B(−A) = −BA. Para
que AB fuese antisim´etrica deber´ıa cumplirse que (AB)T = −AB. De ambas igualdades se deduce
que AB es antisim´etrica si, y solo si AB = BA....