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Serie matemática
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En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, .
Las series convergen o divergen. Encálculo, una serie diverge si no existe o si tiende a infinito; puede converger si para algún .
Contenido[ocultar] * 1 Algunos tipos de series * 2 Sumas conocidas * 3 Criterios de convergencia * 3.1 Condición del resto * 3.2 Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón) * 3.3 Criterio de Cauchy (raíz enésima) * 3.4 Criterio de Raabe * 3.5 Criteriode la integral de Cauchy * 3.6 Criterio de condensación de Cauchy * 3.7 Criterio de Leibniz * 4 Criterios de convergencia comparativos * 4.1 Criterio de comparación directa ( de la mayorante o de Gauss ) * 4.2 Criterio de comparación por paso al límite del cociente * 5 Tipos de convergencia * 5.1 Convergencia absoluta * 6 Véase también * 7 Enlaces externos |[editar] Algunos tipos de series
* Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. Ejemplo (con constante 1/2):

En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente, sólo si |z| < 1, a:

* La serie armónica es la serie

La serie armónica es divergente.
* Una serie alternada es una seriedonde los términos alternan el signo. Ejemplo:

* Una serie telescópica es la suma , donde an = bn − bn+1. Se representa de la siguiente manera:

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

* Una serie hipergeométrica[1] es una serie de la forma , que cumple que = .
[editar] Sumas conocidas
Artículo principal: Fórmula de Faulhaber

[editar]Criterios de convergencia
Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ( u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente).
[editar] Condición del resto
Artículo principal: Test de divergencia
Para que una serie sea divergente, una condición suficiente es que .
Esta afirmaciónes muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.
[editar] Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)
Artículo principal: Criterio de d'Alembert
Sea una serie , tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).
Si existe

con , el Criterio de D'Alembert establece que:
* si L < 1, la serie converge.
* si L >1, entonces la serie diverge.
* si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.
[editar] Criterio de Cauchy (raíz enésima)
Artículo principal: Criterio de la raíz
Sea una serie , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe
, siendo
Entonces, si:
* L <1, la serie es convergente.
* L > 1 entonces la serie es divergente.
* L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.
[editar] Criterio de Raabe
En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raíz nos permitan determinar la convergencia o divergencia dela serie, entonces recurrimos al criterio de Raabe.
Sea una serie , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe
, siendo
Por tanto, si L > 1, entonces la serie es convergente y si L < 1, la serie es divergente
Tened cuidado aquí, pues las conclusiones son al contrario que en los criterios de D'Alembert y de la raíz.
[editar] Criterio de la integral de...