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Tema 2: Matrices
2.0. Introducción
Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el
ordenamiento de datos, así como su manejo.
Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados básicamente en
el siglo XIX por matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irlandés
William Hamilton.
Lasmatrices se encuentran en aquellos ámbitos en los que se trabaja con datos
regularmente ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales,
Económicas y Biológicas.

2.1. Matrices. Definición y primeros ejemplos
Se llama matriz real de dimensión mxn, o de orden mxn al conjunto de m·n números
reales ordenados en m filas (horizontales) y n columnas (verticales). La forma másgeneral de
representar una matriz mxn es:
⎛ a11 a12 .... a1n ⎞
⎟
⎜
⎜ a21 a22 .... a2n ⎟
Amxn = ⎜
.... .... .... .... ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜a
⎝ m1 am 2 .... amn ⎠
Donde puede verse que cada número real ocupa una posición determinada por los dos
subíndices (ij). El primer subíndice (i) indica el número de la fila, y el segundo (j) el de la
columna. Así, el término a12 es el que está en la 1ª fila yen la 2ª columna.
Las matrices se suelen representar por letras mayúsculas A, B….. ó Amxn si queremos
indicar su dimensión.

Ejemplos:
⎛2 0 5 ⎞
A2 x3 = ⎜
⎟
⎜ 6 3 − 1⎟ Es una matriz de 2 filas y 3 columnas.
⎠
⎝
C1x 4 = (− 1 0 1 0) Es una matriz de 1 fila y 4 columnas.

•

Dos matrices son iguales cuando coinciden término a término.
⎛1 2⎞
⎛1 2⎞
A=⎜
⎜
⎟
⎜ 2 1 ⎟; B = ⎜ 2 1 ⎟
⎟
⎝⎠
⎝
⎠

A=B

2.2.- Tipos de matrices:
Entre las matrices existen algunas que reciben nombres especiales y a las cuales nos
referiremos con frecuencia, las más importantes son:
Se llama matriz fila, a una matriz con una sola fila.

Matemáticas

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Así pues, una matriz fila de orden m es una matriz con 1 fila y m columnas:
A1xm =(a11 a12 .... a1m )

Ejemplo: A1x3 = (1 0 − 3)
Se llama matriz columna, a una matriz de una sola columna.
⎛ a11 ⎞
⎜⎟
⎜a ⎟
Así pues, una matriz columna de orden n es una matriz con n filas y 1 columna: Anx1 = ⎜ 21 ⎟
....
⎜⎟
⎜a ⎟
⎝ n1 ⎠
⎛1⎞
⎜⎟
Ejemplo: A3 x1 = ⎜ − 4 ⎟
⎜0⎟
⎝⎠

Se llama matriz opuesta de A, y se simboliza por –A, a la matriz en la que todos los
elementos tienen elsigno opuesto.
⎛1

Ejemplo: A = ⎜
⎜−3
⎝

− 2⎞
⎟
4⎟
⎠

⎛ −1 2 ⎞
−A=⎜
⎜ 3 − 4⎟
⎟
⎝
⎠

Se llama matriz nula, a la que tiene todos los elementos cero.

Ejemplo:

⎛ 0 0⎞
B=⎜
⎟
⎜ 0 0⎟
⎠
⎝

Se llama matriz cuadrada, a una matriz que tiene igual número de filas que de
columnas.

Ejemplo: A3 x3

3⎞
⎛1 2
⎜
⎟
= A3 = ⎜ 2 1 − 1⎟
⎜3 −1 0 ⎟
⎝
⎠

•

Se llama diagonalprincipal de una matriz cuadrada, a la formada por los elementos aij
con i=j. En el ejemplo anterior la diagonal está formada por los elementos a11=1, a22=1,
a33=0.

•

A la otra diagonal, se le llama diagonal secundaria.

Se llama matriz diagonal, a la matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos
excepto los de la diagonal principal.
⎛1
⎜
⎜0
Ejemplo: A = ⎜
0
⎜
⎜0
⎝Matemáticas

0 0 0⎞
⎟
2 0 0⎟
0 3 0⎟
⎟
0 0 2⎟
⎠

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Se llama matriz escalar, a aquella matriz diagonal en la que todos los elementos de la
diagonal principal son iguales.
⎛ 2 0 0⎞
⎜
⎟
Ejemplo: A = ⎜ 0 2 0 ⎟
⎜ 0 0 2⎟
⎝
⎠

Se llama matriz identidad de orden n, y se denota por In, a la matriz escalar del
mismo orden cuyos elementosde la diagonal principal son todos la unidad.
⎛ 1 0 .... 0 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 1 .... 0 ⎟
In = ⎜
.... .... .... .... ⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0 .... 1 ⎟
⎝
⎠

Ejemplos:

⎛1 0⎞
I2 = ⎜
⎜ 0 1 ⎟ Matriz identidad de orden 2
⎟
⎝
⎠
⎛1 0 0⎞
⎜
⎟
I 3 = ⎜ 0 1 0 ⎟ Matriz identidad de orden 3
⎜0 0 1⎟
⎝
⎠

Se llama matriz triangular, a la matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos
situados por...