BUZ N U3A

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.
La definición significa queeventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.

El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) seacercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0.Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.
x
f(x)
1,9
3,61
1,99
3,9601
1,999
3,996001
...
...
↓
↓
2
4
x
f(x)
2,1
4.41
2,01
4,0401
2,001
4,004001
...
...
↓
↓
2
4
Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x0, si fijado un número realpositivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε, tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición|x − x0| < δ , se cumple que |f(x) − L| < ε.
















El límite de una función en un punto es único. (Se puede decir lo mismo diciendo: Una función no puede tener dos límites diferentes en un mismo punto).
Sean f y g dos funciones. Si el límite de lafunción f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el límite de la función f + g, en el punto x = a, es l + m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite de la suma es igual a la suma de los límites).
lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)
Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de lafunción g, en el punto x = a, es m, entonces el límite de la función f * g, en el punto x = a, es l * m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del producto es igual al producto de los límites).
lim (f(x).g(x)) = lim f(x) . lim g(x)
Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m (distinto decero), entonces el limite de la función f / g, en el punto x = a, es l / m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del cociente es igual al cociente de los límites).
lim (f(x)/g(x)) = lim f(x) / lim g(x)
Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f g , en el puntox = a, es l m.
lim (f(x))g(x) = lim (f(x))lim g(x)
Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f(g(x)) (suponiendo que tenga sentido)  en el punto x = a, es l.


Límites laterales
Para que exista el límite de una función, deben existir los límites laterales y coincidir.
Elsignificado de los signos en la notación para límites laterales se interpreta de la siguiente manera
x ® a- significa que x tiende a a tomando valores menores que a, es decir valores que se encuentran a su izquierda.
x ® a+ significa que x tiende a a tomando valores mayores que a, es decir valores que se encuentran a su derecha.
Límite lateral por izquierda
 
 si dado e > 0, $ d > 0 tal que
sia - d < x < a Þ 

Límite lateral por derecha
 
 si dado e > 0, $ d > 0 tal que
si a < x < a + d Þ 



Asíntotas


Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente.
Hay tres tipos de asintotas:
1. Asíntotas horizontales

Ejemplo
Calcular las asíntotas horizontales de la función:


2. Asíntotas verticales

Consideramos que el resultado del límite es ∞ si tenemos un...